1 前回の復習と本日の学習内容

1.1 前回の復習

1.1.0.1 フーリエ変換

フーリエ変換(Fourier transform)の式(1)は，時間情報を周 波数情報に変換している．すなわち，時刻の関数で振幅が$f(t)$が分かったとすると，周 波数(角振動数)の関数でその振幅$F(\omega)$がわかる．逆フーリエ変換 (2)は，周波数情報から時間情報に変換する．

$$F(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$$ (1)

$$f(t) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}\omega$$ (2)

1.1.0.2 導関数のフーリエ変換

導関数のフーリエ変換は，

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 11 \frac{\,\mathrm... ... \frac{\,\mathrm{d}^{1} f(t)}{\,\mathrm{d}t^{1}}\fi e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t =\frac{i\omega}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$$

$$=i\omega F(\omega)$$ (3)

となる．ようするに導関数のフーリエ変換は，元の関数のフーリエ変換の$i\omega$倍で ある．$n$階の導関数のフーリエ変換は，

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 1n \frac{\,\mathrm... ... f(t)}{\,\mathrm{d}t^{n}}\fi e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t =(i\omega)^n F(\omega)$$ (4)

となる．

1.1.0.3 フーリエ変換の回路への応用

キルヒホッフの法則から回路が満たす微分方程式を作成し，フーリエ変換することにより， その微分方程式を解くことができる．特に周波数領域で定義されるインピーダンスを求め るのに有効である．

1.2 本日の学習内容

本日の学習内容は，教科書 [1]のp.246-247である．本日のゴールは次のように 設定している． -4pt

• 小振動の弦の波動方程式--偏微分方程式--を導くことができる．
• 偏微分方程式を変数分離法により，連立の常微分方程式に変換できる．

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著者: 山本昌志