3 フーリェ級数の例

フーリエ級数の係数を求める方法が分かった．本当に，任意の周期関数を三角関数の和に なっているかを，p.224の例題1と例題2を使って確かめる．

3.1 矩形波

これまでの結果を利用して，図2のような矩形波をフーリエ級数で 表す．これは，教科書のp.224の例題1である．

$a_n$や$b_n$を求める積分の範囲は， $[-\pi,\pi]$である．しかし，図 2の関数は，$x=0$で不連続になっている．そのため，$[-\pi,0]$と $[0,\pi]$に分けて，積分を実施する．そうすると，

$$f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}$$ (15)

が得られる．積分は，教科書を見て自分でも計算すること．

図 2: 周期$2\pi$の矩形波

この式の右辺は，本当に図2のような矩形波になっているのだろう か?．コンピューターを使って計算してみる．ここで，フーリエ級数の部分和$S_n$を

$$S_n=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^n\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}$$ (16)

とする．ちゃんとしたフーリエ級数であれば， $n\rightarrow\infty$とすべきであるが， コンピューターでは無限大は無理なので，有限の$n$まで計算する．計算結果を図 3から図8に示す．$n$が大きくなると，矩形波 に近づく．この例で示すように，たとえ不連続な関数であっても三角関数で 展開できる．図9を見て分かるように，部分和もきれい な$2\pi$の周期関数になっている．

ここでの計算結果は，驚くべきことである．図2のような不連続な 関数は，式(15)のように三角関数を使って取り扱うことができる-- という事実⁶を 表している．このような不連続な関数は，電気回路ではしばしば現れる．デジタル回路の パルスは，矩形波である．今，諸君はパルスを解析する手段を得たことになる．電気回路 でおなじみの交流--サイン波-- の解析手法を用いて，パルスが解析できる!!!．

図 3: 方形波:$S_1$	図 4: 方形波:$S_2$	図 5: 方形波:$S_3$
図 6: 方形波:$S_{10}$	図 7: 方形波:$S_{100}$	図 8: 方形波:$S_{10000}$

図 9: x軸を拡大した$S_{10}$のフーリエ級数．

3.2 三角波

つぎに，図10のような三角波(教科書のp.224-225の例題2)をフーリエ 級数で表す．これも， $[-\pi,\pi]$の範囲で，積分を行い$a_n$と$b_n$を求める．先ほど 同様，$x=0$で不連続な関数なので，積分は$[-\pi,0]$と$[0,\pi]$の2つの部分に分ける． そして，教科書に示しているように部分積分を使うと，

$$f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}$$ (17)

が得られる．

図 10: 周期$2\pi$の三角波

式(17)の部分和を図11から16に 示す．矩形波より収束が早いことが分かるだろう．これまでの2つの結果から，フーリエ 級数は正しそうである--ということが感覚的理解できるであろう．本当は，自分でプロ グラムを書いてみることが重要であろう．プログラムの得意な者はトライせよ．

図 11: 三角波:$S_1$	図 12: 三角波:$S_2$	図 13: 三角波:$S_3$
図 14: 三角波:$S_{10}$	図 15: 三角波:$S_{100}$	図 16: 三角波:$S_{10000}$

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著者: 山本昌志