3 冬休み中の選択課題

3.1 講義の理解が不十分な者向けの課題

3.1.1 フーリエ級数を学ぶための基礎

3.1.1.1 単位の変換

次の角度の単位の変換を行え． $\pi\,\mathrm{[rad]}=180\,\mathrm{[deg]}$ を使って，計算式をきちんと示すこと．

`[`問1] $30\,\mathrm{[deg]}$	`[`問2] $135\,\mathrm{[deg]}$
`[`問3] $-210\,\mathrm{[deg]}$	`[`問4] $\frac{\pi}{3}\,\mathrm{[rad]}$
`[`問5] $-\frac{5\pi}{4}\,\mathrm{[rad]}$	`[`問6] $2\pi\,\mathrm{[rad]}$

3.1.1.2 三角関数の値

次の三角関数，および逆三角関数の値を計算せよ．図を描いて値を示すこと．

`[`問1] $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$	`[`問2] $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$
`[`問3] $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$	`[`問4] $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$
`[`問5] $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$	`[`問6] $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$
`[`問7] $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$	`[`問8] $\cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right)$
`[`問9] $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$	`[`問10] $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$

3.1.1.3 関数のグラフ

以下のグラフをグラフ用紙にきちんと描け

`[`問1] $f(x)=\sin(x)$ のグラフを描け．
`[`問2] $f(x)=\cos(x)$ のグラフを描け．
`[`問3] $f(x)=\tan(x)$ のグラフを描け．
`[`問4] $f(x)=e^{-x}$ のグラフを描け．
`[`問5] $f(x)=\log(x)$ のグラフを描け．

3.1.1.4 指数関数と対数関数

[問1]

指数の法則，

$\displaystyle a^\alpha a^\beta=a^{\alpha+\beta}$

$\displaystyle \left(a^\alpha\right)^\beta=a^{\alpha\beta}$

がこのようになることを単純な具体例で示せ．

[問2]

ネピア数

の近似値を示せ．

[問3]

$2^{0}$ の値とその理由を示せ．

[問4]

$2^{-1}$ の値とその理由を示せ．

[問5]

$2^{\frac{1}{2}}$ の近似値とその理由を示せ．

[問6]

$(e^\alpha)^\beta$ を簡単にせよ．

[問7]

$e^\alpha\times e^\beta$ を簡単にせよ．

[問8]

方程式 $e^{\log x}=5$ を解け．

[問9]

$y=e^{2x+3}$ を

の式に直せ．

[問10]

$\log\left(\frac{b}{a}\right)$ を分解せよ．

[問11]

$\log\left(ab\right)$ を分解せよ．

[問12]

$\log\left(\frac{b^\beta}{a^\alpha}\right)$ を分解せよ．

3.1.1.5 三角関数の性質

[問1]

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ となる理由を説明せよ．

[問2]

$\tan^2\theta-\cfrac{1}{\cos^2\theta}=-1$ を導け．

[問3]

加法定理 $\sin(\alpha+\beta)$ を示せ．

[問4]

加法定理 $\cos(\alpha+\beta)$ を示せ．

[問5]

$\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1$ を導け．

[問6]

$\cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta$ を導け．

[問7]

$\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$ を導け．

[問8]

以下を導け．

$\displaystyle \cos\alpha\cos\beta= \cfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right]$

[問9]

以下を導け．

$\displaystyle \cos A+\cos B= 2\cos\left(\cfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\cfrac{A-B}{2}\right)$

3.1.1.6 微分法

[問1]

導関数 $f^\prime(x)$ とは図形ではどのような意味になるか?

[問2]

の導関数を示せ．

[問3]

$\frac{f(x)}{g(x)}$ の導関数を示せ．

[問4]

の導関数を示せ．

[問5]

$f\left(g(x)\right)$ の導関数を示せ．

[問6]

以下の関数

の導関数を示せ．計算過程もきちんと書くこと．

$\displaystyle f(x)=x^n$	$\displaystyle f(x)=\sin x$	$\displaystyle f(x)=\cos x$	$\displaystyle f(x)=\tan x$
$\displaystyle f(x)=e^x$	$\displaystyle f(x)=\log\vert x\vert$	$\displaystyle f(x)=\sin(x^2)$	$\displaystyle f(x)=\arcsin x$
$\displaystyle f(x)=e^{x}\cos x$	$\displaystyle f(x)=e^{\sin x}\cos x$

3.1.1.7 積分法

[問1]

定積分 $\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ の意味を図形を用いて説明せよ．

[問2]

$\int\frac{f^\prime(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x$ を示せ．

[問3]

部分積分の公式を示せ．

[問4]

置換積分の公式を示せ．

[問5]

以下の積分を計算せよ．

$\displaystyle \int x^n\,\mathrm{d}x$	$\displaystyle \int\sin x\,\mathrm{d}x$	$\displaystyle \int\sin(ax)\,\mathrm{d}x$	$\displaystyle \int\cos x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle \int\tan x\,\mathrm{d}x$	$\displaystyle \int\arcsin x\,\mathrm{d}x$	$\displaystyle \int e^x\,\mathrm{d}x$	$\displaystyle \int a^x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle \int \log \vert x\vert\,\mathrm{d}x$	$\displaystyle \int\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+a^2}$

3.1.2 フーリエ解析

これは，補習対象者の問題と同一である．補習対象者はもう一度，この問題を解け．最初から自力で計算すること．補習の時提出したレポートと同一だと減点する．

[問1]

指数関数と三角関数の関係を示すオイラーの公式を示せ．

[問2]

オイラーの公式を使って， $\sin x$ と $\cos x$ を指数関数で表す式を求めよ．

[問3]

三角関数の直交関係を示す以下の式が成り立つことを計算により示せ．ただし，

と

は自然数とする．

	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\,\mathrm{d}x =\begin{cases}\pi & (n=m)\\ 0 & (n \ne m) \end{cases}$
	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,\mathrm{d}x =\begin{cases}\pi & (n=m)\\ 0 & (n \ne m) \end{cases}$
	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,\mathrm{d}x=0$
	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,\mathrm{d}x=0$
	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,\mathrm{d}x=0$

[問4]

関数

は

のすべての実数について定義されていて，周期 $2\pi$ をもつものとする．この

が，

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos 2x+a_3\cos 3x+\cdots +b_1\sin x+b_2\sin 2x+b_3\sin 3x+\cdots$
	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$