2 原理

図1のようなCR直列回路に交流電圧$V$を加えたとき， 抵抗およびコンデンサーの両端の電圧

$$V_R =\frac{i\omega CR}{1+i\omega CR}V=\frac{i\omega\tau}{1+i\omega\tau}V$$ (1)

$$V_C =\frac{1}{1+i\omega CR}V =\frac{1}{1+i\omega\tau}V$$ (2)

となる．ここで，$V_R$が抵抗，$V_C$がコンデンサー両端の電圧である． $\tau$は時定数で，$\tau=CR$と定義する．ここで， $\omega\tau$が1に比べて 十分小さい場合，抵抗両端の電圧$V_R$は電源電圧の微分となる．また，コン デンサーの電圧$V_C$は電源電圧の積分となる．

素子間の電圧を電源電圧との比[dB]であらわす，

$$G_R =20\log_{10}\left(\frac{\vert V_R\vert}{\vert V\vert}\right) =20\log_{10}\left(\frac{\omega CR}{\sqrt{1+(\omega CR)^2}}\right)$$ (3)

$$G_C =20\log_{10}\left(\frac{\vert V_C\vert}{\vert V\vert}\right)=20\log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{1+(\omega CR)^2}}\right)$$ (4)

となる．これを，周波数 $f=\omega/(2\pi)$を横軸に，$G_R$と$G_C$を縦軸に してグラフに描くと，図2のような特性曲線が得られる．

同様に，電源との位相差は，

$$\theta_R =\arctan\left[\frac{\Im(V_R/V)}{\Re(V_R/V)}\right]=\arctan\left(\frac{1}{\omega CR}\right)$$ (5)

$$\theta_C =\arctan\left[\frac{\Im(V_C/V)}{\Re(V_C/V)}\right]=\arctan\left(\omega CR\right)$$ (6)

となる．$\Re$は実数部，$\Im$は虚数部を表す．これをグラフに描くと，図 2のような特性曲線になる．

この図中の$f_c$は $V_R=V_C=V/\sqrt{2}$となる周波数で，これをCR回路の遮 断周波数と言う．このとき，位相差は， $\theta_R=\theta_C=\pi/4$ [rad]=45 [deg]となる．

図 1: CR回路

図 2: ゲインと位相(C=0.001[$\mu$F], R=10[k$\Omega$])

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志