1 一階線型常微分方程式

通常，回路の動作は微分方程式で表す．コイルやコンデンサーが同時に回路に含まれない 場合，

$$y^\prime+P(x)y=Q(x)$$ (1)

のような一階線型同次常微分方程式になることが多い．$Q(x)=0$の場合を同次， $Q(x)\ne 0$の場合を非同次と言う．

同次の場合は変数分離形なので，それは簡単に一般解が求められる．この場合，一般解 は

$$y=c_1e^{-\int P(x)dx}$$ (2)

である．ここで，$c_1$は任意定数である．

非同次の場合は少し難しくなり，いろいろな方法がある(たとえば， [1] に見よ)．ここでは，式(1)の両辺に適当な関数 $\varphi(x)$を乗じ て，変数分離形にする．そうすると，左辺は $y^\prime\varphi+P\varphi y$となる．この 左辺が $(y\varphi)^\prime$となれば，変数分離形となり容易に計算できる．このように 変数分離形になるためには，

$$\varphi^\prime=P\varphi$$ (3)

であればよい．これはちょうど変数分離形になっており，

$$\varphi(x)=e^{\int P(x) dx}$$ (4)

である．この関数を元の微分方程式の両辺に乗じることになるので，積分定数は省いてい る．

変数分離形にするために，式(4)を 式(1)の両辺に乗じると

$$y^\prime \varphi(x)+\varphi(x) P(x)y=Q(x)\varphi(x)$$ (5)

となる．先に示したように $\varphi(x) P(x)=\varphi^\prime (x)$なので，

$$\left[y\varphi(x)\right]^\prime=Q(x)\varphi(x)$$ (6)

である．これもまた，変数分離形なので，積分は簡単である．積分の後，整理すると，

$$y=\frac{1}{\varphi(x)}\left[\int Q(x)\varphi(x)dx+c_1\right]$$ (7)

となる．したがって，元の微分方程式(1)の一般解は

$$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c_1\right]$$ (8)

である．
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著者: 山本昌志