2 二階線型常微分方程式

コイルとコンデンサーの両方が含まれる回路を表す微分方程式は，二階線型常微分方程式 になることが多い．「LCRの過渡応答」の実験では，

$$y^{\prime\prime}+\kappa y^\prime + \lambda y=\mu$$ (9)

の形の微分方程式が現れる．ここで，$\kappa$, $\lambda$, $\mu$は定数である．この微 分方程式の解き方を示す．

式(9)のように同次項がある時(非同次と言う)，その一般解は，

$${(\textrm 一つの特殊解)}+{\textrm(同次方程式の一般解)}$$

の形で表すことができる．2階の非同次微分方程式を解く場合，これらの2つの階を求め， その和を一般解とするのは定石である．

式(9)の特殊解$y_1$は，簡単に分かる．それは，

$$y_1=\frac{\mu}{\lambda}$$ (10)

となる．これを元の式に代入すれば，その解になっていることは直ちに分かる．

残る問題は，同次方程式

$$y^{\prime\prime}+\kappa y^\prime + \lambda y=0$$ (11)

の一般解を探すことである．科学技術の分野では，このタイプの方程式では，

$$y=e^{i\omega x}$$ (12)

を解と仮定する．そして，これが解となるように$\omega$を決める．これを元の同次微分 方程式に代入して整理すると，

$$\omega^2-i\kappa\omega-\lambda=0$$ (13)

となる．すると，2次方程式の解の公式より，$\omega$は

$$\omega=\frac{\kappa i\pm\sqrt{4\lambda-\kappa^2}}{2}$$ (14)

とならなければならない．これら，2つの$\omega$とも，式 (11)の解となる．また，この微分方程式は線型な ので，重ね合わせの原理が成り立つため，2つの解の線型和も解となりうる．従って，同 次微分方程式(11)の一般解$y_2$は，

$$y_2= c_1\exp\left(\frac{-\kappa+i\sqrt{4\lambda-\kappa^2}}{2}x\right)+ c_2\exp\left(\frac{-\kappa-i\sqrt{4\lambda-\kappa^2}}{2}x\right)$$ (15)

となる．これは，2階の微分方程式で2個の定数があり一般解にふさわしい．

ところが，式(13)が重根，すなわち， $4\lambda-\kappa^2=0$の場合，事情が異なる．式 (15)の未知数が一つなくなり，一般解とならない． この場合，一般解$y_2$は

$$y_2=(c_1+c_2x)\exp\left(-\frac{\kappa}{2}x\right)$$ (16)

となる．元の式(11)に代入して確かめよ．

以上をまとめると，微分方程式(9)の一般解は，

$$y=\begin{cases}% \cfrac{\mu}{\lambda}+ c_1\exp\left(\cfrac{-\kapp... ...eft(-\cfrac{\kappa}{2}x\right) & \text{$4\lambda-\kappa^2=0$のとき} \end{cases}$$ (17)

となる．これは， $4\lambda-\kappa^2$の値が正や負，0により，曲線の形がかなり 異なるので注意が必要である．
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著者: 山本昌志