3 高階の常微分方程式

3.1 4次のルンゲ・クッタ法を使う方法

ここまで示した方法は，わりとエレガントな方法である．しかし，1階の常微分方程式しか 取り扱えないので不便きわまりないと思っている者もいるだろう．一般に，高階の常微分 方程式は，1階の連立微分方程式に変形できる．このことから，高階の常微分方程 式の近似解は，これまで示した方法を用いて計算できるようになる．諸君は，1階の常微 分方程式が計算できれば，ちょっとの工夫で高階のものも計算できるのである．

重要なことは，高階の常微分方程式を1階の連立微分方程式に直すことである．まずは， その方法を示す．例えば，次のような2階の常微分方程式があったとする．

$$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=f\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)$$ (28)

この方程式の右辺は， $(x, y, \mathrm{d}y/\mathrm{d}x)$の3つの関数に見えるが，実際には独立 変数は$x$のみである．$y$も， $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$も$x$の関数となっている．

この2階常微分方程式を1階の連立微分方程式にするために，

$$\left\{ \begin{aligned}Y_0(x)&=y(x)\\ Y_1(x)&=y^{\prime}(x)\\ \end{aligned} \right.$$

のように変数変換をする．すると，式(28)は

$$\left\{ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}Y_0}{\mathrm{d}x}&=Y_1\\... ...c{\mathrm{d}Y_1}{\mathrm{d}x}&=f(x,Y_0,Y_1) \end{aligned} \right.$$

と変形できる．これで，2階の常微分方程式が1階連立常微分方程式に変換されたことにな る．1階の微分方程式ということで，4次のルンゲ・クッタ法が使える．次のようにすれば よい．

$$\left\{ \begin{aligned}k_1&=hY_{1\_n}\\ \ell_1&=hf(x_n,Y_{0\_n}... ...+\frac{1}{6}(\ell_1+2\ell_2+2\ell_3+\ell_4) \end{aligned} \right.$$

この漸化式を芋づる式に計算すれば，元の2階の微分方程式の近似解が求められるわけで ある．近似解$y(x)$は$Y_{0\_i}$となり，その微分も同時に計算され$Y_{1\_i}$であ る．

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著者: 山本昌志