3 静磁場の基本法則

この辺をきちんとすると，かなりの数式を羅列する事になってしまう．そこで，ここでは教科書に沿って，直感的なイメージを大切にして，説明する．

3.1 磁場に関するガウスの法則

定常電流の作る磁場を実験でいろいろ調べてみると，図6のようになっていることが分かった⁷．ちょうど，電流が流れる方向とねじの方向を一致させると，磁場の方向は右ねじの回転方向と一致する．これを右ねじの法則といい，電流と磁場の方向を示している．

**図 6:** 磁場
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/define_B.eps}$

1本の長い電線が作る磁場を考えよう．磁場は，電線の周りに回転としてできる．このような場合，どのような微小の体積を考えても，その発散はゼロである．要するに，どんな部分をとっても，入ってくる磁場のフラックスと出て行くフラックスは等しい．すなわち，

$\displaystyle \int_S \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=0$

(6)

である．これは，たとえ，電線を取り囲んだ体積を考えても，そうなる．この左辺は，ガウスの発散定理

$\displaystyle \int_S \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_V\div{\boldsymbol{B}}\mathrm{d}V$

(7)

が成立する．したがって，

$\displaystyle \int_V\div{\boldsymbol{B}}\mathrm{d}V=0$

(8)

である．これはいかなる領域でも成立するので，

$\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$

(9)

となる．磁場の発散はなく，必ず磁場は元に戻ることを言っている．

電場の場合は，電荷から電気力線が出ていて，どこか無限遠点に行くか，反対の電荷に吸収されていた．磁場の場合，磁力線は閉じた線である．このことは，電荷に相当する磁荷は無いと言っている．

3.2 積分形のアンペールの法則

前節の結果から，磁場の発散は分かった．磁場を決めるためには，回転を求める必要がある．そのために，図7のような経路で積分を行う．電流は無限に長い直線とする．この場合の磁場は，式(5)を使えばよい．半径

での線積分は

$\begin{equation*}\begin{aligned}\oint\boldsymbol{B}\cdot d\ell &=\oint\frac{\mu_... ...mu_0}{2\pi}\frac{I}{R}R\mathrm{d}\theta\\ &=\mu_0 I \end{aligned}\end{equation*}$

となる．この結果は，磁場が直線電流からの距離の

に比例することから，容易に予想できる結果である．重要なことは，直線電流からある距離離れた磁場の線積分は，距離に依存しないことである．

これは，ガウスの法則，点電荷の作る電場の面積分が，距離に依存しないのと同じである．この場合も，最初，球の中心に点電荷を置き，一般的に閉じた面で成り立つことを示した．同じことを，ここでも行う．次に，積分路を図8のように変形させると， $\delta\boldsymbol{\ell}=\delta\boldsymbol{t}+\delta\boldsymbol{r}+\delta\boldsymbol{z}$ と書くことができる．磁場の方向，すなわち $\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{R}$ の方向は， $\delta t$ に平行で， $\delta r$ と $\delta z$ には垂直となる．したがって，積分は先ほどと同じで，

$\begin{equation*}\begin{aligned}\oint\boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\ell &=\oint\... ...i}\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r}rd\theta\\ &=\mu_0 I \end{aligned}\end{equation*}$

となる．図9のように積分路を変更しても同じである．これまでの結果から，閉じた線路での積分はいつも同じ値になることが分かる．

**図 7:** 積分範囲が円
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_circle.eps}$

**図 8:** 同一円筒での積分
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_same_cylinder.eps}$

**図 9:** 同一面での積分
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_same_plain.eps}$

今までは，1本の直線電流であったが，磁場は重ねあわせができるので，複数本でも成り立つ．あるいは，電流がデルタ関数のように離散的ではなく，連続的な分布，密度 $\boldsymbol{j}$ として存在する場合も成り立つ．これらは，磁場が重ね合わせの原理が成り立つからである．さらに，証明はしなかったが電流が曲線であっても成立する．このことから，

$\displaystyle \oint\boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_S\mu_0 \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

(12)

が成り立つ．これを積分形のアンペールの法則と言う．右辺は，線積分を囲む電流の総和になっていることに注意が必要である．

ところで，この積分の外側の電流の寄与はどうなるのであろうか?．外側の電流であろうとも，この積分路には磁場を発生させる．結論を先に言うと，

外側の電流による磁場はあるが，積分を行うとゼロになる．

である．このことは，電荷でやったのと同じことを行えばよい．図 12の通りである．

**図 10:** 任意の場合の積分路
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_arb_line.eps}$

**図 11:** 複数の導線が積分路を貫く場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_sum_current.eps}$

**図 12:** 積分路の外側に電流が在る場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_outside_current.eps}$

3.3 微分形のアンペールの法則

諸君は，ストークスの定理を知っている．それを使うと，式(12) の左辺は，

$\displaystyle \oint\boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_S\nabla\times \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

(13)

となる．これから，積分形のアンペールの法則は，

$\displaystyle \int_S\nabla\times \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_S\mu_0 \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

(14)

と書き改められる．この式は，任意の面で成り立つ．そのためには，

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{B}=\mu_0 \boldsymbol{j}$

(15)

となる必要がある．これがアンペールの法則の微分形である．全てが場の量となっているので，理論的には扱いやすくなる．

このアンペールの法則の言っていることは，電流が磁場の回転を作っている．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成18年6月22日