5 磁荷に作用する力

5.1 閉電流と磁気双曲子の等価性

磁荷$q_m$が作る磁場は

$$B=\frac{1}{4\pi}\frac{q_m}{r^2}$$ (46)

となる．$\pm q_m$の磁荷を微少距離$s$だけ離した磁気双極子の磁場を考える．図のz軸 上($\ell\ll z$)の磁場は，次のようになる．

$$B_z = \frac{q_m}{4\pi}\left[\frac{1}{(z-\ell/2)^2}-\frac{1}{(z+\ell/2)^2} \right]$$

$$=\frac{q_m}{4\pi z^2}\left[\left(\frac{1}{1-\ell/2z}\right)^2- \left(\frac{1}{1+\ell/2z}\right)^2\right]$$

$$(\quad)$$

$$=\frac{q_m}{4\pi z^2}\left[ \left\{1+\frac{\ell}{2z}+\left(\frac{... ...rac{\ell}{2z}\right)^2- \left(\frac{\ell}{2z}\right)^3+\cdots\right\}^2 \right]$$    二次以上の微少量を無視すると

$$\simeq\frac{q_m}{4\pi z^2}\left[ \left(1+\frac{\ell}{z}\right)-\left(1-\frac{\ell}{z}\right) \right]$$

$$\simeq\frac{2q_m\ell}{4\pi z^3}$$ (47)

磁気双極子が作る磁場は，距離の3乗で小さくなる．単極子(1重極)は距離の2乗で， 双極子(2重極子)は距離の3乗で小さくなる．

ここで，磁気双極子モーメント$m$を

$$m=q_m\ell$$ (48)

とする．この場合，z軸上の磁場は，

$$B_z=\frac{1}{4\pi}\frac{2m}{z^3}$$ (49)

となる．

一方，半径$a$の円電流がz軸に作る磁場は，前回のビオ・サバールの法則を応用する問題 で示したとおり，

$$B_z=\frac{\mu_0}{2}\frac{a^2I}{(z^2+a^2)^{3/2}}$$ (50)

となる．先ほど同様に，コイルから離れた場合($a\ll z$)には，

$$B_z =\frac{\mu_0}{2}\frac{a^2I}{(z^2+a^2)^{3/2}}$$

$$=\frac{\mu_0Ia^2}{2z^3}\frac{1}{\left\{1+(a/z)^2\right\}^{3/2}}$$

$$=\frac{\mu_0Ia^2}{2z^3}\frac{1}{\left\{1+(a/z)^2\right\}^{3/2}}$$    テイラー展開する

$$=\frac{\mu_0Ia^2}{2z^3}\left[ 1-\frac{3}{2}\left(\frac{a}{z}\righ... ...ft(\frac{a}{z}\right)^4 -\frac{35}{16}\left(\frac{a}{z}\right)^6+\cdots \right]$$    二次以上の微少量を無視すると

$$\simeq\frac{\mu_0Ia^2}{2z^3}$$

$$\simeq\frac{1}{4\pi}\frac{2\mu_0I\pi a^2}{z^3}$$ (51)

となる．ここで，

$$m=\mu_0IS$$ (52)

とすると，円電流と磁気双極子がつくる遠方の磁場は同一となる．ただし，$S$はコイル の面積($\pi a^2$)である．

z軸上の遠方では，円電流と磁気双極子のつくる磁場は同一となることが分かった．証明 はしないが，z軸に限らずいかなる方向でも同じ磁場分布となる．このようなことから， 実際の磁場は，磁荷が作るのではなく円電流が作ると考えることができる．原子の中の電 子が回転することによる円電流が小さな磁場をつくるのである．原子が大量にあり，同じ 方向に磁場を作れば，それらは重ね合わせられ，強力な磁場を発生する．これが磁石とな る．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志