1 内積 (スカラー積)

1.1 内積が現れる演算

エネルギーは，「力$\times$距離」とよく表現される．例えば，重力場に質量$m$ の物体 があり，それを垂直に$r$だけ手で移動させたとする．実際には，物体は鉛直方向 に重力により引っ張られており，その力は$mg$である．その力に抗して，手はそれ と同じ大きさで反対方向に力$F$を加え，物体を$r$引き上げたことになる．こ の場合，この物体の位置エネルギー(ポテンシャル)の増加$\Delta U$は，$F r$ となるのは力学で学習したとおりである．

今度は，先ほどと同じ距離で，物体を真横に移動させたとする．この場合，位置エネルギー の変化$\Delta U$はゼロである．また，斜めに移動させた場合は， $\Delta U=Fr\cos\theta$となる．これは，高さの変化分が，位置エネルギーの変化になるからであ る．手の力の方向は，この3とおりの場合まったく同じで，垂直方向である．この垂直方 向の力$F$と移動方向との角度を$\theta$とすると，3通りとも同じ式

$$\Delta U=Fr\cos\theta$$ (1)

でエネルギーの変化をあらわすことができる．

ちょっと余談であるが，これまで，3通りの方法で物体を移動させた．図を見て分かるよ うに，物体を移動させるとき手にかかる力は同じである．同じ力なのに，移動方向が違う のである．厳密に考えると，移動が始まる瞬間に加速度が生じその力が本当は必要なので あるが，ここでは無視している．ゆっくり，本当にゆっくり移動させたことを考えるので ある．もう少し思考実験を進めると，手と物体との間にばね秤をつけると，力の様子が分 かる．本当にゆっくり動かせば，3通りの移動ともばね秤が示す重さは$m$で力が同じであ ることが分かるであろう．

話は元に戻るが，力と物体の移動量はベクトル量なので $\boldsymbol{F},\,\boldsymbol{r}$と書 いたほうが格好良い²．そうすると，位置エネルギーの変化 は，

$$\Delta U=\vert\boldsymbol{F}\vert\vert\boldsymbol{r}\vert\cos\theta$$ (2)

となる．この式の右辺が内積(スカラー積)の演算である．

図 1: 垂直方向への移動

図 2: 水平方向への移動

図 3: 斜めへの移動

1.2 内積(スカラー積)の定義

前回の講義で示したように，z軸を中心として回転させた場合，座標の変換は次のようになる．

$$x^\prime=x\cos\theta+y\sin\theta y^\prime=-x\sin\theta+y\cos\theta z^\prime=z$$ (3)

ベクトル量の各軸の成分も座標の回転により変化する．その変化は，座標の変換と同じである．

$$F_x^\prime=F_x\cos\theta+F_y\sin\theta F_y^\prime=-F_x\sin\theta+F_y\cos\theta F_z^\prime=F_z$$ (4)

ここで，スカラー量というものを定義する．それは，座標軸を変えても，変化しない量とする．例えば，原点からの距離 $\vert\boldsymbol{r}\vert$を考える．直感的にこれは座標軸を変えても変化しないと分かる．座標変換の式を使い，ちゃんと計算してみる．距離は平方根の計算が含まれて厄介なので，その2乗 $\vert\boldsymbol{r}\vert^2$を計算する．式(3)から，

$$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2} =(x\cos\theta+y\sin\theta)^2+(-x\sin\theta+y\cos\theta)^2+z^2$$

$$=x^2\cos^2\theta+2xy\cos\theta\sin\theta+y^2\sin^2\theta+x^2\sin^2\theta-2xy\cos\theta\sin\theta+y^2\cos^2\theta+z^2$$

$$=(x^2+y^2)\cos^2\theta+(x^2+y^2)\sin^2\theta+z^2$$ (5)

$$=x^2+y^2+z^2$$ (6)

となる．これから，距離の2乗 $\vert\boldsymbol{r}\vert^2$は座標系を回転させても変化しない量であることがわかる．このような量がスカラー量である．同じように，式(4)から，ベクトルの大きさもスカラー量であることが分かる．すなわち

$$F_x^{\prime 2}+F_y^{\prime 2}+F_z^{\prime 2}=F_x^2+F_y^2+F_z^2$$ (7)

である．

ベクトルの大きさの計算と全く同じようにして，ベクトル $\boldsymbol{A}$と $\boldsymbol{B}$の積，

$$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$$ (8)

もスカラー量となる．この演算は，座標系を回転させても，同じ値となる．この証明は課 題とする．これは，スカラー積(内積)と呼ばれる演算である．次に，最初のエネルギーの 話のときできてきたコサインを使った演算と，この内積が等しいことを示す．すなわち

$$A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=\vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert\cos\theta$$ (9)

を証明したい．ここで，$\theta$はベクトル $\boldsymbol{A}$と $\boldsymbol{B}$の間の角度である．これ を証明するために，座標を回転させる．左辺はスカラー量であるため，座標系を回転させ ても値は変わらない．座標回転後の新しい $\mathrm{x}$軸を $\boldsymbol{A}$の方向にする．する と，ベクトル $\boldsymbol{B}$と $\mathrm{x}$軸の間の角度は$\theta$となる． $\boldsymbol{B}$と $\mathrm{y},\mathrm{z}$軸との角度を $\zeta,\eta$とすると，新たな座標系でのベクトルの成分は，

$$A_x=\vert\boldsymbol{A}\vert A_y=0 A_z=0$$ (10)

$$B_x=\vert\boldsymbol{B}\vert\cos\theta B_y=\vert\boldsymbol{B}\vert\cos\zeta B_z=\vert\boldsymbol{B}\vert\cos\eta$$ (11)

となる． $\cos\theta,\,\cos\zeta,\,\cos\eta$はそれぞれの軸との方向余弦である．従って，内積の 定義より，

$$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} =A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$$

$$=\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert\cos\theta$$ (12)

となる．これを内積の第二の定義と考えることができる．実際には，式(8)と 式(12)の簡単な方を使えば良い．また，スカラー積の定義から，

$$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}$$ (13)

であることが直ちに分かる．この演算では交換法則が成り立っている．

本日，最初に示した位置エネルギーの変化 $\Delta U=\vert\boldsymbol{F}\vert\vert\boldsymbol{r}\vert\cos\theta$ は 内積の演算になっていることが分かる．

$$\Delta U=\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{r}$$ (14)

そして，これはスカラー量となる．エネルギーはスカラー量なので当然の結果である．

最後に $\mathrm{x},\,\mathrm{y},\,\mathrm{z}$軸の単位ベクトル $\boldsymbol{i},\,\boldsymbol{j},\,\boldsymbol{k}$の内積の演算を示しておく．

$$\begin{aligned}&\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i}=1 & &\boldsym... ...mbol{j}=0 & &\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k}=1 \\ \end{aligned}$$

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著者: 山本昌志