5 ガウス・ザイデル法

ヤコビ法では， $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$の近似値の計算にすべてその前の値 $\boldsymbol{x}^{(k)}$を使 う．大きな行列を扱う場合，全ての $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$と $\boldsymbol{x}^{(k)}$を記憶する必要が あり，大きなメモリーが必要となり問題が生じる [1]．今では， 個人で大きなメモリーを使うことは許されるが，ちょっと前まではできるだけメモリーを 節約したプログラムを書かなくてはならなかった．

そこで， $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$の各成分の計算が終わると，それを直ちに使うことを考えれば， メモリーは半分で済む．即ち， $x_i^{(k+1)}$を計算するときに，

$$\begin{multline} x_i^{(k+1)}=a_{ii}^{-1}\left\{b_i-( a_{i1}x_1^{(k+1)}+a_{i2}x... ...+2}^{(k)}+a_{ii+3}x_{i+3}^{(k)}+\cdots+ a_{in}x_n^{(k)})\right\} \end{multline}$$

とするのである．実際の計算では，$k+1$番目の解は

$$\begin{aligned}&x_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left( a_{12}... ...)}+\cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k+1)}\right)\right\} \\ \end{aligned}$$

と計算できる．これが，ガウス・ザイデル法である．

このガウス・ザイデル法は，$k$番目と$k+1$番目の解を混ぜて使うという，大胆なことをやっ ているが，研究の結果，収束条件はヤコビ法とほとんど同じと言うことである．ヤコビ法 と比べてどちらが良いかというと

• メモリーの節約を考えた場合，ガウス・ザイデル法に軍配が上がる．
• 計算速度では，ガウス・ザイデル法の方が早いと思われる．

となる．ヤコビ法を使うよりは，ガウス・ザイデル法を使う方が良いであろう．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志