3 LCR直列回路

3.1 回路の理論

もっと実用的な常微分方程式を解くことにする．電気の諸問題の常微分方程式は2階の場 合が多い．例えば，図2のような回路である．最初，コンデ ンサーにある電荷が蓄えられていたとする²．そうして，ある瞬間(t=0)にス イッチSWをONにしたとする．この場合，回路に流れる電流は時間とともにどのように変化 するか? 数値計算によりそれを求めることにする．

図 2: LCR直列回路

まず，この回路に流れる電流の微分方程式を導かなくてはならない．これを，エネルギー という観点から考えよう．コンデンサーとコイルに蓄えられたエネルギーの時間的な変化 が抵抗で消費される電力になる．コンデンサーに蓄えられるエネルギーは $\frac{1}{2}CV^2$ で，コイルに蓄えられるエネルギーは $\frac{1}{2}LI^2$である．一 方，抵抗で消費される電力は，$I^2R$である．これらの関係を式で表すと，

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}CV^2+\frac{1}{2}LI^2\right)+I^2R=0$$ (5)

となる．

この式では，電流$I$と電圧$V$が時間の関数となっている．これでは見通しが悪いので， 電圧の項をコンデンサーの式を用いて消去することを考える．コンデンサーに蓄えられる 電荷を$q$とすると，$q=CV$という関係がある．これから， $\frac{dq}{dt}=C\frac{dV}{dt}$が直ちに導かれる．ここで，電荷量の時間変化は電流と なるので， $\frac{dq}{dt}=I$となることに注意する．これらの関係式を用いて，式 (5)を書き直す．すると，

$$\begin{aligned}&\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}CV^2+\frac{1}{2}LI... ...c{dI}{dt}+I^2R=0\\ &\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}+IR=0 \end{aligned}$$

の関係式を導くことができる．最後の式の両辺の時間で微分すると，

$$\begin{aligned}&\frac{d}{dt}\left(\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}+IR... ... &L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0\\ \end{aligned}$$

となる．これで，電流$I$のみ常微分方程式になる．この最後の2階の微分方程式を解けば よいわけである．

3.2 数値計算

2階の常微分方程式を数値計算する場合，1階の連立常微分方程式に直すのがセオリーである．これは，

$$\left\{ \begin{aligned}I_0&=I\\ I_1&=\frac{dI}{dt} \end{aligned} \right.$$

と変数変換を行う．すると，式(7)の最後の式は，

$$\left\{ \begin{aligned}\frac{dI_0}{dt}&=I_1\\ \frac{dI_1}{dt}&=-\frac{1}{L}\left(\frac{I_0}{C}+RI_1\right) \end{aligned} \right.$$

と書き直せる．これを配布したテキスト「常微分方程式の数値計算法」で示している高階 の微分方程式の数値計算法を使い4次のルンゲ・クッタ法で近似解を求める．

これを解くためには，LとC，Rの値と初期条件が必要である．それぞれを以下 のようにする．

• インダクタンス$L$とキャパシタンス$C$は，1とする．
• スイッチSWをONにした瞬間(t=0)，インダクタンス$L$があるので電流は 流れない．$I(0)=0$となる．また， $\left.\frac{dI}{dt}\right \vert _{t=0}=1$とする． $\left.\frac{dI}{dt}\right \vert _{t=0}=1$になるような電荷が蓄えられているわけであ る．

このような状況のもと，以下の場合について計算せよ．

1. まずはじめに，$R=1$の場合について，電流の様子を計算せよ．
2. $R=0,1,2,3,4$の場合について，電流の様子を計算せよ．臨界減衰の 時，どうなるか?
3. 抵抗が電流に比例する場合$R=kI$，どうなるか計算せよ． $k=0.1, 1, 10$の場合 を計算してみよう．このような場合，非線形な方程式になる．従って，通常は解析 解ないが，数値計算は可能である．コンピューターは，すばらしい結果を与えてく れる．

プログラムのヒントをあたえよう．$I_{0\_n}$と$I_{1\_n}$は，それぞれ I0[n]やI1[n]のような配列に格納する．そして，初期値は I0[0]=0とI1[0]=1で表せる．ついでに時刻も配列 time[n]を使う．当然，time[0]=0で， time[n+1]=time[n]+hのように計算する．最終的な解は， I0[n]とtime[n]の関係が重要になる．

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著者: 山本昌志