1 はじめに

数学の授業で学習したように，どんな複雑な関数でも微分は可能である．一方，積分とな るとそうはいかない．積分の学習では，どのようにして積分を行うかといういろいろなテ クニックを学んだはずである．微分に比べれば，圧倒的に計算が難しいことも経験済みで あろう．

例えば，ガウス分布を表す以下の関数を考える．

$$f(x)=e^{-x^2}$$ (1)

この関数の微分すること(導関数)は，簡単で

$$f^\prime(x)=-2xe^{-x^2}$$ (2)

となることは説明の必要がないであろう．今まで学習してきたように，初等関数で表すこ とができる関数の微分は，初等関数で表現できるのである．要するに微分(導関数)の値を 求めたいときには，人間が実際に微分をして，初等関数を計算すればよいのである．

一方，積分となるとそうはいかない．先の式(1)の 不定積分を初等関数で表すことができない．初等関数からできた関数であろうとも，不定 積分は初等関数の範囲を超えることがある．だからといって，定積分の値(数値)が不定と いうわけではない．

いろいろ計算をしていると，不定積分はできないが，定積分の値が必要な場合がしばしば 訪れる．そのときに，ここで学習する定積分を数値計算で求めるテクニックが使われる．

定積分は，図1に示すように面積の計算になる．したがって，直感 的にわかりやすく，アルキメデスの時代からあった．一方，微分法はニュートンの時代と すると，およそ2000年の開きがあるのである．

図 1: 定積分と面積

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著者: 山本昌志