2 台形公式

2.1 台形公式の求め方

定積分，

$$S=\int_a^bf(x)dx$$ (3)

の近似値を数値計算で求めることを考える．積分の計算は，先に示したように面積の計算 であるから，図2のように台形の面積の和で近似ができるであ ろう．積分の範囲$[a,b]$を$N$等分した台形で近似した面積Tは，

$$\begin{aligned}T&=h\frac{f(a)+f(a+h)}{2}+ h\frac{f(a+h)+f(a+2h)... ...{2}\sum_{j=0}^{N-1}\left[f(a+jh)+f(a+(j+1)h)\right] \end{aligned}$$

となる．これが数値積分の台形公式である．なんのことはない，積分を台形の面積に置き 換えているだけである．

図 2: 積分と台形の面積の比較

2.2 台形公式の誤差について

台形公式による数値積分では，分割数$N$を大きくするとその誤差は小さくなることは直 感で分かる．それでは，分割数を増やしていくとどのように精度が良くなるのか考えてみ よう．

まずは，式(4)のある一つの台形の面積と実際の積分の値を比較する．台 形の面積$t$は，台形公式より，

$$t=\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_1+h)]$$ (5)

となる．これを実際の積分

$$s=\int_{x_1}^{x_1+h}f(x)dx$$ (6)

と比較することにする．これら2つの式の形がぜんぜん違うので比較できないと考えるだろ う．このような場合の常套手段がある．ちょっとした違いについて論じる時には，テーラー 展開を使う．式(5)を$x_1$の周りで，テイラー展開すると

$$\begin{aligned}t&=\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_1+h)]\\ &=\frac{h}{2}\... ...c{f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{2\times3!}h^4+\cdots \end{aligned}$$

となる．これが台形の面積のテイラー展開である．一方，積分の 式(6)もテイラー展開する．これは，

$$\begin{aligned}s&=\int_{x_1}^{x_1+h}f(x)dx \\ &\qquad\qquad\tex... ...f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{4\times 3!}h^4 +\cdots \end{aligned}$$

となる．この2つの式(7)と ( 8)が台形での近似と まっとうに積分を行ったときのテイラー展 開を表す．これらの式を比べると，刻み巾$h$の2 次まで一致している．これは，直感的 には次のように考えることができる．

• 台形公式では$f(x)$を直線で近似しているので，被積分関数は$h$の1次の精度がある．
• 台形の一つの面積は，被積分関数に$h$を乗じることにより得られる．したがって， 面積は$h$の2次の精度になる．

これまでの結果から，台形式の積分の誤差は$h$の3次よりも高次が問題となり，

$$\begin{aligned}\vert s-t\vert&=\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{2\t... ...h^4)\\ &=\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{12}h^3+O(h^4) \end{aligned}$$

と表せる．即ち，積分を台形で近似したひとつの区間の誤差は，刻み幅の$h^3$で効いて くるのである．従って，積分のトータルの誤差は，それを区間の個数$N$を乗じた

$$\begin{aligned}\vert S-T\vert&=N\vert s-t\vert\\ &=N\frac{f^{\p... ...\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{12}\frac{(b-a)^3}{N^2} \end{aligned}$$

となる．積分の誤差は$N^{-2}$に比例する．分割数を10倍にすれば，積分の誤差は1/100になるわけである．
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著者: 山本昌志