1 はじめに

実験やシミュレーションを行っていると $(x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ のように，離散的にデータが得られるのは普通のことである．この得られた値から，任意 の$x$ に対して$y$ の値を推測しなくてはならないことがしばしば生じる．工学実験では曲 線定規を使って値を推測したが，ここでは計算機を用いて値を推測することを学習する．

値を計算するためには，$y=f(x)$ を示す関数$f$ を決めればよい．この関数は，次のよう な二通りの決め方がある．

補間法

これは，離散的な点，全てを通過する関数を求め，値を推測する方法であ る(図1)．データ数が多くなると，問題が生じるこ とがある．

最小二乗法

データをある特定の関数に近似して，値を推測する方法でである(図 2)．通常，関数形を決めるパラメーターよりもデータ の数が多く，全てのデータを通る曲線が得られるわけではない．最も誤差が 少なくなるように，関数のパラメーターを決める．

図 1: 補間(ラグランジュ補間)

図 2: 最小二乗近似(2次関数)

今回の講義では，補間法，最小二乗法ともに学習する．ただし，時間の関係で，最小二乗 法についてはこのプリントの配布にとどめ，説明は行わない．興味のあるのは，各自学習 せよ．補間法にもいろいろ有るが，ここでは最も基本的なラグランジュ補間とスプライン 補間について説明する．大抵のデータプロットアプリケーションでは，最小二乗法とスプ ライン関数が使えるようになっている．これらの大体の内容を理解して，これらの機能を 使うとデータの整理が上手になるであろう．

一般的には，補間とは得られたデータの範囲内での値の推定のことを言う．それに対して， 範囲外の推定は補外と言う．²．例えば，図3のように$(x_0,y_0)$ 〜$(x_3,y_3)$ のデー タがあり，それらを通る曲線が得られたする．データの範囲$[x_1,x_3]$ の推定を補 間，それ以外を補外と言う．ただし，どちらも同じ関数を用いる．

補間に比べて，補外の方が近似の精度が悪くなる場合が多い．このことは，証券価格のグ ラフを考えると良く分かる．本日までのデータを補間することはそんなに難しくないが， 明日以降の価格を推定することは極めて難しくなる．もし，良い精度で明日以降の価格が わかれば，大金持ちになれるであろう．

図 3: 補間と補外

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著者: 山本昌志