2 ラグランジュ補間

2.1 基本的な考え方

ある物理量を測定して$N+1$ 個の値が得られたとする．それらは， $(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$ の2次元座標で表すことが できる．この全ての点を通る関数を求めることが補間法の課題である．N次関数を使えば その目的が達成できると容易に分かる．データが2個であれば1次関数，3個であれば2次関 数というようにである．一般的に$N+1$ 個のデータの場合，

$$y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_ix^i+\cdots+a_Nx^N$$ (1)

と$N$ 次関数を用いて補間するわけである．この係数$a_i$ を求めれば，補間の関数が求められたこ とになる．この係数は，N+1元の連立1次方程式を解くことにより求めることができる．

この連立方程式の計算にはかなりの時間が必要であるが，それに代わるもっと良い方法が ある．ここでは，N次関数で表現できれば良いわけで，次のようにする．

$$\begin{aligned}y&=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_N)} {(x... ...{(x_N-x_0)(x_N-x_1)(x_N-x_2)\cdots(x_N-x_{N-1})}y_N \end{aligned}$$

この式(2)を見ると，

• 各項の分母は定数で，分子は$N$ 次関数となっている．全て の項はN次関数になっているので，この式は$N$ 次関数($N$ 次多項式)である．
• $x$ に $x_0,x_1,x_2,\cdots,x_N$ を代入すると，$y$ の値は $y_0,y_1,y_1,\cdots,y_N$ になる．したがって，この$N$ 次関数は全てのデータ点 $(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$ を 通過している．

となっている．これは，表現こそ違うものの式(1)と同じである．式(1)の$a_i$ を連立方程式を解くことにより補間の関数を求める必要は無く，式 (2)を使えばよいということである．この補 間をラグランジュの補間多項式(Lagrange's interpolating polynomial)という．式 (2)をもうちょっと格好良く書けば，

$$L(x)=\sum_{k=0}^{N}L_k(x)y_k$$ (3)

ただし，

$$L_k(x) =\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_N)} {(x_k-x_0)(x_k-x_1)(x_k-x_2)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_N)}$$

$$=\frac{x-x_0}{x_k-x_0}\times\frac{x-x_1}{x_k-x_1}\times\frac{x-x_... ..._k-x_{k-1}}\times\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}\times\cdots\frac{x-x_N}{x_k-x_N}$$

$$=\prod_{j=0}^{N(j\neq k)}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}$$ (4)

となる．$\Sigma$ は和の記号であるが，ここで使っている$\prod$ は積の記号である．

2.2 問題点

補間の点数が増えてくると，ラグランジュの補間の近似の精度が悪くなることがある．そ の具体例を図4に示す．これから，補間の関数 が振動し，端の方ではかなり精度が悪いことがわかる．ラグランジュの補間では，補間の点数が増えてくると大きな振動が発 生して，もはや補間とは言えなくなることがある．ラグランジュの補間には常にこの危険 性が付きまとうので，データ点数が多い場合は良い方法ではない．ほかの補間を選択しな くてはならない．

図 4: ラグランジュ補間の問題点． $y=\frac{1}{1+25x^2}$ を10点で補間 (点線)したが，両端で振動する．

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著者: 山本昌志