6 計算の機構

6.1 コンピューターの発明の歴史の概観

6.1.1 発明以前

コンピューターが発明される以前，情報処理は手作業で行われるｔことが多かった．良くて，専用の機械が使われる程度であった．ここで，コンピュータが発明される前の時代，どのような機械があったか眺めるのも良いだろう．ここでは，コンピューターの発明につながる大事なものについて，紹介する．

あまり，コンピューターの発明に寄与しないが，そろばんとか機械式の計算機があった．そろばんは，かなり古くから使われていたようで，現存する最古のものは紀元前300年くらいのものらしい．このことからも人類が活動する上で，計算(情報処理のひとつ)は重要な行為であることが分かる．

コンピューターの発明に寄与したもので最初のものは，1881年にジョゼフ・マリー・ジャカールにより発明されたジャカード織機(Jacquard loom)と言われている．これは自動織機で，絵柄のパターンはパンチカードに書かれている．パンチカードに書かれたとおりに機械が縦糸と横糸を織る機械で，パンチカードのパターンを変えことにより図柄を変えることができる．丁度，パンチカードがプログラムの役割を果たすのである．

ジャカード織機はパンチカードに従い自動的に図柄を織る機械であるが，これに目をつけ，チャールズバベッジ(Charles Babbage:1791-1871)は自動的に計算する機械を作ろうとした．バベッジが作ろうとした計算機は，階差機関(difference engine)と呼ばれるもので，自動的に多項式の値を計算し，印刷する機械を目指した．残念ながら，当時の技術水準ではそれを作ることはできなかったが，コンピューターにつながるアイディアがあったことは確かであろう．

次に登場するものはハーマンホレリス(Herman Hollerith:1860-1929)の発明した統計機械(tabulating machine) で,1890年の米国の国勢調査に使われた．この機械は穿孔機により空けられたパンチカードの穴が国税調査の情報を表す．その穴を電気的に検出し，データを集計する仕組みであった．バベッジの階差機械とは異なり，この機械は大成功を収め，後のIBM社につながる．

6.1.2 発明

ホレリスの統計機械は，情報の処理はできるがコンピュータにはほど遠い．特定の処理しかできず，プログラムにより様々な処理ができるコンピュータとは大きく異なる．

プログラムにより広範囲の計算ができる電子計算機は，ENIAC(Electronic Numerical Integrator And Computer)が最初である．それまでにも，プログラムを使ったリレー式の計算機はあったが，電子計算機はENIACが最初である．リレー式の計算機に比べ圧倒的な処理速度があった．ENIACを見たノイマンは，「これで世界で二番目に計算が速いヤツ決まったな」と言ったとか．一番目はノイマンあるいは ENIAC?

ENIACはプログラムを変えることで，様々な計算が出来たことが画期的であった．大砲の弾道の軌道計算もおこなったし，70時間かけて円周率を2037桁まで求めた．ただ，ENIAC には致命的な欠点があった．プログラムは配線により行っていたのである．プログラムを変更するためには，いちいち電線の接続を変えなくてはならない．

次のEDVAC(Electronic Discrete Variable Automatic Computer)というコンピューターの開発では，プログラムを配線ではなく，メモリーの中に入れることが議論された．こうすることにより，プログラムの変更が容易でかつ高速で計算するコンピューターが可能となる．このコンピューターを実現するためのメモリーの開発は大変だった．

このEDVACが現在のコンピューターの原型と言ってもよいだろう．この後は，CPUのスピードアップとメモリーの大容量化に向かって，突き進むことになる．

余談ではあるが，ENIACの開発で真空管の寿命が問題となった．真空管の寿命は大体2000 時間で，ENIACには17,468本の真空管が使われていた．平均的に，ENIACは

$\displaystyle \frac{2000時間}{17468}=0.11時間$

(1)

に1回故障することになる²．6分に1回，故障することになる．円周率2037桁の計算に37時間も要することからすると，6分ではほとんど何も計算できない．エンジニアは猛烈な努力を行い，故障する真空管を2～3本/週に抑えたようである．

6.2 2進数モデル

6.2.1 2進数を使う理由

コンピューターが扱えるのは，数値だけである．世の中の様々な情報を数値化して，コンピューターは計算により，処理を行う．たとえば，音楽が録音されたCDが典型的な例である．空気振動である音をマイクにより電気信号に変えAD変換器を使い，音の情報を数値化し，CD-ROMに記録している．これから音を取り出すときには，DA変換器を通して，電気信号にして，スピーカーを使って空気の振動に変えている．数値化された音の情報は，コンピューターにより，如何様にも加工できる．

コンピューターで数値を扱う場合，2進数がもっとも適している．ノイズに強いとかブール代数が使えるとかがその理由である．また，2進数の場合，コンピューターを構成する素子が単純になるという利点もある．

ENIACは10進数のコンピューターであったが，発明者のエッカートとモークリーは2進数の方が有利であると気がついていたようである．そのため，彼らの2号機となるEDVACでは2進数を採用した．

6.2.2 ブール代数(復習)

ブール代数は，つぎの特徴がある．

2項演算子, $\cdot$ と単項演算子 $\bar{ }$ が定義されている．それぞれ加法と乗法，および補元の演算子となっている．
使われる変数は，0と1のみである．

0と1だけからなる代数系であり，これはコンピューター内部で行われている演算そのものである．演算子もコンピューター内部の回路と一致している．

ブール代数の公理は次のとおりである．

公理 6.1 (ブール代数)

交換法則	$\displaystyle \hspace{3mm}$	$\displaystyle A+B=B+A,$	$\displaystyle \hspace{10mm}$	$\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$	(2)
分配法則		$\displaystyle A \cdot(B + C)=(A \cdot B)+(A \cdot C),$		$\displaystyle A+(B \cdot C) = (A+B) \cdot (A+C)$	(3)
単位元		$\displaystyle A+0=A,$		$\displaystyle A \cdot 1 = A$	(4)
補元		$\displaystyle A + \bar{A}=1,$		$\displaystyle A \cdot \bar{A}= 0$	(5)