3 電流にはたらく力

3.1 直線電流に働く力

無限に長い直線電流どうしに働く力を考える．そのために，それが作る磁場を計算する．磁場は微分形のアンペールの法則

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{j}$

(26)

から導くのが簡単である．この直線電流から，

離れた場所で積分を行う．

$\displaystyle \int\nabla\times \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$	$\displaystyle =\int \mu_0\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$
	左辺にストークスの定理を応用すると
$\displaystyle \oint\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\ell$	$\displaystyle =\mu I_2$
$\displaystyle 2\pi r B_\theta$	$\displaystyle =\mu I_2$	(27)

これから，磁束密度は

$\displaystyle B_\theta=\frac{\mu_0I_2}{2\pi r}$

(28)

となる．この磁束密度は元々，力から定義されていた．図 8のように置かれた電線が単位長さ当たり受ける力は，

$\displaystyle \Delta F$	$\displaystyle =I_1B\Delta\ell$
	$\displaystyle =\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}\Delta \ell$	(29)

となる．静磁場の講義のはじめにこれを磁場の定義とした．実際には，これで電流を定義している．

式(29)に示した力は平行に導線を張った場合に働く力である．それに対して，平行でない場合は，

$\displaystyle \Delta F=I\Delta\ell\times\boldsymbol{B}$

(30)

となる．これをアンペールの力と言う．

**図 8:** 2本の平行導線に働くアンペールの力
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Ampere_force_two_wire.eps}$

**図 9:** 電流要素に働くアンペールの力
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Ampere_force_current_element.eps}$

教科書の図6.2に書いてある通り，コイルの上下方向の力は，反対で一直線上にある．したがって，コイルの重心を移動させる力は発生しない．トルクはどうだろうか?．ゼロであることは直ちに理解できる．上下方向の力をそれぞれ， $\boldsymbol{F}$ と $-\boldsymbol{F}$ とすると

$\displaystyle \boldsymbol{N}$	$\displaystyle =\boldsymbol{r}_1\times\boldsymbol{F}-\boldsymbol{r}_2\times\boldsymbol{F}$
	$\displaystyle =(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times\boldsymbol{F}$
	$\displaystyle =0$	(31)

となる．直感の通り，ちゃんと計算してもコイルの上下方向の働くトルクは，キャンセルされる．

左右方向はどうだろうか?．力の大きさが反対なので，重心を移動させる力は発生しない．しかし，トルクは発生する．左右方向の力をそれぞれ， $\boldsymbol{F}$ と $-\boldsymbol{F}$ とすると

$\displaystyle \boldsymbol{N}$	$\displaystyle =\boldsymbol{r}_3\times\boldsymbol{F}-\boldsymbol{r}_4\times\boldsymbol{F}$
	$\displaystyle =(\boldsymbol{r}_3-\boldsymbol{r}_4)\times\boldsymbol{F}$	(32)