4 電磁波のエネルギー

ここで，求めた自由空間の電磁波のエネルギーについて考えてみる．

4.1 ポインティングベクトル

まずは，ポインティングベクトルの復習である．ポインティングベクトルはエネルギーの 流れの密度を表した．前回の講義と異なった方法で説明しよう．実際は同じことであるが， 簡単に説明する．ベクトル恒等式とマクスウェルの方程式から，

$$\div{(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})} =\boldsymbol{H}\cdot\nabla\times \boldsymbol{E}-\boldsymbol{E}\cdot\nabla\times \boldsymbol{H}$$

$$=-\boldsymbol{H}\cdot \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\part... ...\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi \right)$$

$$=-\mu\boldsymbol{H}\cdot \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\p... ...rtial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi -\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{j}$$

$$=- \if 11 \frac{\partial }{\partial t} \else \frac{\partial^{1} }... ...ilon\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E}\right)- \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{j}$$ (56)

が得られる．これを任意の領域で体積積分を行う．左辺は，ガウスの定理により表面積分 になるので，

$$\int_S \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{n}\math... ...mbol{E}\right)\mathrm{d}V+ \int_V\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{j}\mathrm{d}V=0$$ (57)

が得られる．ここの左辺の第二項は単位時間あたりの電磁場のエネルギーの変化を表す． 第三項の電流密度 $\boldsymbol{j}$は $\rho\boldsymbol{v}$となる． $\rho\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{v}$は，粒子が 単位時間あたりに得るエネルギーである．したがって，第二項と三項は体積$V$中の単位 時間あたりのエネルギーの変化を表す．エネルギー保存則が成り立つとすれば，

$$\boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}$$ (58)

は単位時間，単位面積あたりのエネルギーの流れになるはずである．これは，発見者の名 前をとってポインティングベクトルと呼ばれている．

ポインティングベクトルの次元を調べてみると，エネルギー密度の流れになっている．電 場$E$の単位は $\mathrm{[V/m]}$，磁場の強さ $\boldsymbol{H}$の単位は $\mathrm{[A/m]}$である． したがって，ポインティングベクトルの単位は $\mathrm{[VA/m^2]}$となり， $\mathrm{[W/m^2]=[J\,sec^{-1}\,m^{-2}]}$ と書き改めることができる．たしかに，エネルギー密度の流れ になっている．

4.2 平面波のエネルギーのながれ

先ほど求めた平面波のエネルギーの流れを考える．平面波のエネルギーの密度は分かって いる．平面波の速度も光速$c$と分かっている．したがって，単位時間に単位面積，通過 する平面波のエネルギーがわかる．このようにして計算した結果とポインティングベクト ルから計算した結果は，教科書の通り，一致する．各自，調べよ．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志