1 物理学における対称性

ここでは，物理法則を記述するときに，ベクトルを使う理由を述べる．数学と異なり，物 理学ではベクトルを使わなくてはならない特別な理由がある．それは，座標軸の平行移動 や回転に対して，物理の基本法則を示す方程式が変わらないということに関係する．電磁 気学でも，このことは成り立つが，力学でそれを示す．これから学習する電磁気学方程式 は複雑なので，最初の例としてふさわしくない．そこで，方程式がが単純な力学を使うこ とにする．

このあたりの話の種本は，「ファインマン物理学 I 力学」 []である．

1.1 対称性

力学や電磁気学，さらに他の物理学の分野の基本法則は，平行移動や回転に対して対称で ある．ここで，対称と言う意味は，ファインマンはヘルマン・ワイルの言葉を借りて

ひとつのものにある操作をしたとき，もとと同一に見えるならば，そのものは対称である という．例えば左右対称な花瓶があるとき，それを鉛直軸のまわりに180°まわすと，ま えと同じように見える．

と言っている [1]．電磁気学を含んだ物理の基本法則が，平 行移動や回転に対して対称であることは，直感的に理解できる．それは，我々が住んでい る世界には座標をきめる特別な原点はないということと，座標軸を決める特別な軸がない ことからも分かる．このことを，「空間は等方である」という．本当に，そうなのか? 特別な原点や特別な軸を示す現象を捜してみよう．見付からないはずである．

1.2 平行移動

それでは平行移動に関して，物理の基本法則である力学が対称であることを示そう．ベク トルを使わない力学の方程式は

$$m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=F_x m\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2}=F_y m\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}=F_z$$ (1)

である．問題は，この座標の原点と軸の方向である．まずは，座標の原点としてどこを選 んでも方程式が同じであることを示す．

これから，原点はどこでも良いことを示そう．A君とA$^\prime$君がある質点の運動を異 なる原点を使って観測したとする．A君の座標を$(x,y,z)$，A$^\prime$君の座標を $(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$とする(図1)．それぞれは，

$$x^\prime=x-a y^\prime=y-b z^\prime=z-c$$ (2)

の関係がある．これは，原点は異なるが，軸の方向は一致していると言っている．A君の 座標系で，運動方程式(1)が成り立っているとする．同じよう に，A$^\prime$君の座標系でも運動方程式

$$m\frac{\mathrm{d}^2 x^\prime}{\mathrm{d}t^2}=F_x^\prime m\frac{\mathrm{d}^2 y^\prime}{\mathrm{d}t^2}=F_y^\prime m\frac{\mathrm{d}^2 z^\prime}{\mathrm{d}t^2}=F_z^\prime$$ (3)

は成り立つのであろうか?

質点にかかる力は，A君から見てもA$^\prime$君ら見ても同じである．そして，力の各方向の成分は，全ての力に力の軸と座標の軸との方向余弦( $\cos\theta$)をかけたものである．これと両者の座標軸の方向が一致しているとことから，

$$F_x^\prime=F_x F_x^\prime=F_x F_x^\prime=F_x$$ (4)

となる．両者の力の各方向の成分は同一になる．これは，直感的に当たり前である．

次に，式(1)の加速度を考える．A$^\prime$君の座標系での加速度は，

$$\frac{\mathrm{d}^2 x^\prime}{\mathrm{d}t^2} =\frac{\mathrm{d}^2 (x-a)}{\mathrm{d}t^2}$$

$$=\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}^2 a}{\mathrm{d}t^2}$$

$$a$$

$$=\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}$$ (5)

となる．$y$, $z$方向もおなじなので，

$$\frac{\mathrm{d}^2 x^\prime}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} \frac{\mathrm{d}^2 y^\prime}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} \frac{\mathrm{d}^2 z^\prime}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}$$ (6)

となる．原点が異なっても，加速度は同一となる．

式(4)と(6)より，A君の座標で運動方程式 (1)が成り立てば，A$^\prime$君でも同じような運動方程式 (3)が成り立つ．これは，運動方程式は，座標の原点と は関係なく成り立つことを言っている．座標の原点はどこをとってもよいのである．

図 1: 座標軸の平行移動

1.3 回転

ニュートンの運動方程式--物理の基本法則--が軸の回転に対しても対称でことを確認す る．図2のように，原点は同じで，z軸を回転軸として$\theta$回転 させた2つの座標系での運動方程式を考える．回転する前のA君の座標系の運動方程式

$$m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=F_x m\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2}=F_y m\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}=F_z$$ (7)

である．座標を回転させたときのA$^\prime$君の座標系でも同じように

$$m\frac{\mathrm{d}^2 x^\prime}{\mathrm{d}t^2}=F_x^\prime m\frac{\mathrm{d}^2 y^\prime}{\mathrm{d}t^2}=F_y^\prime m\frac{\mathrm{d}^2 z^\prime}{\mathrm{d}t^2}=F_z^\prime$$ (8)

が成り立つか?--を調べる．もしこれが成り立てば，A君の座標系でも，A$^\prime$君の座標 系でも方程式の形は同一となる．すなわち，対称である．

対称性を調べるために，座標の変換と力の変換の仕方を考えなくてはならない．まずは， 座標の変換であるが，これは簡単である．図2から明らかに，これら 2つの座標系は

$$x^\prime=x\cos\theta+y\sin\theta y^\prime=-x\sin\theta+y\cos\theta z^\prime=z$$ (9)

の関係がある．もう少し，分かり易く書くと

$$\begin{bmatrix}x^\prime\\ y^\prime\\ z^\prime \end{bmatrix} = \be... ...\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y\\ z \end{bmatrix}$$ (10)

となる．これから，ただちに式(7)と式 (8)のそれぞれの左辺には，

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \begin{bmatrix}x^\prime\\ y^\p... ...\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y\\ z \end{bmatrix}$$ (11)

と言う関係があることがわかる．行列に書き直しているが，同じである．

残りは，座標が回転した場合，力の変化の様子を調べることにする．ただちに分かることは，A君とA$^\prime$君が見る力の$z$方向成分は，

$$F_z=F_z^\prime$$ (12)

とまったく同一になる． $\mathrm{z}$軸を中心に回転を行うので，当たり前である．興味の対象 は，$xy$平面の力が，A君とA$^\prime$君でどのように見えるか--である．便宜上， 力 $\boldsymbol{F}$を$z$方向と$xy$平面に投影した部分に分解する．

$$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_\perp+F_z\boldsymbol{k}$$ (13)

ここで， $\boldsymbol{F}_\perp$は $\mathrm{xy}$平面に投影した力，$F_z$は力の $\mathrm{z}$方 向成分， $\boldsymbol{k}$は $\mathrm{z}$方向の単位ベクトルである．A君の座標系では，

$$F_x=\vert\boldsymbol{F}_\perp\vert\cos\alpha F_y=\vert\boldsymbol{F}_\perp\vert\sin\alpha$$ (14)

となる．一方，A$^\prime$君の座標系では，

$$\begin{align*}\begin{split}F_x^\prime =\vert\boldsymbol{F}_\perp\vert\cos(\alpha... ...rt\left(\sin\alpha\cos\theta-\cos\alpha\sin\theta\right) \end{split}\end{align*}$$ (15)

となる．式(14)と見比べると，これは

$$F_x^\prime=F_x\cos\theta+F_y\sin\theta F_y^\prime=-F_x\sin\theta+F_y\cos\theta$$ (16)

と書き直すことができる．式(12)と式(16)より， A君とA$\prime$君の力の成分の関係は，

$$\begin{bmatrix}F_x^\prime\\ F_y^\prime\\ F_z^\prime \end{bmatrix}... ...heta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_x\\ F_y\\ F_z \end{bmatrix}$$ (17)

となることがわかる．

式(7)と式 (8)のそれぞれの左辺の加速度の変換の式は式 (11)に示している．それぞれの右辺，すなわち力の関係は，式 (17)のとおりである．これらの式(11)や式 (17)は，座標変換にともなう加速度や力の変換仕方を表している のである．これらの式から，座標の回転によって，加速度の成分--座標の成分--と力の 成分が，同一の行列によって変換されることがわかる．同じ変換を受けるということであ る．ということは，式(7)が成立すれば，式 (8)が成り立つと言っている．これらの式--ニュート ンの運動方程式--の形は同一である．したがって，ニュートンの運動方程式は座標の回 転に対して，対称である．これは，座標軸を勝手にとっても，ニュートンの運動方程式は 成立すると言っている．これは，重要な事実である．

ここでは， $\mathrm{z}$軸を中心に回転させたが， $\mathrm{x}$軸でも $\mathrm{y}$軸でも同じように対称と なる． $\mathrm{x}$軸を中心に回転させて， $\mathrm{y}$軸を中心に回転させるように回転を2回施し ても，同じように対称なるはずである．回転を2回施すことは，任意の方向を軸として， 回転を1回施す作用と同じである．したがって，任意の方向を軸にして，回転させても， ニュートンの運動方程式は対称となる．ニュートンの運動方程式は，回転に対して，対称 となっている．

図 2: 座標軸の回転

1.4 ベクトル

物理学の基本法則は，座標の平行移動や回転に対して，その方程式の形は変わらない．す べての基本法則はそのように書かれているはずである．何度も言うようだが，これは，我々 が住んでいる世界には特別な原点や軸がないことを表している．単純な例として，ニュー トンの運動方程式が，そのようになっていることを先に示した．これから学習する電磁気 学も，座標の平行移動や回転に対して，方程式の形は変わらない．

これまで，示してきた加速度や力は，ベクトルの例である．これは，ある空間に固定され た一本の矢のように考えることができる．それは方向と大きさを持っている．それは，座 標系に関係なく存在している．この幾何学的な形をもつ1本の矢がどのように変化するの か?--を考えるのが物理学である．だからこそ，平行移動や回転に対して，方程式の形が 変わらなかったのである．

実際に問題を解く場合，適当に座標の原点と軸を決めて，基本方程式を解くことにな る．この場合，$(x,y,z)$のように3つの数値が必要となる．この3つの数値の組をひとつ の記号 $\boldsymbol{r}$で表すことにする．これをベクトルと言う．また，回転と平行移動を施し た別の座標系を使うと $(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$のように異なる組の数値が必要となる．この場合も同じ， 記号 $\boldsymbol{r}$を使う．座標系により，成分は異なるが同じ記号を使うことになる． 許されるのは，

$$\boldsymbol{F}=m\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}$$ (18)

がどちらの座標系を使っても，同じ式になるからである．

ベクトルの成分がどのような性質があるかは，最後に述べる．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志