B. 回転を表す行列

先週の講義では，2次元を用いて座標変換の具体的な行列を示した．ここでは，より一般 的な3次元の座標変換の行列の性質を示す．ここでは，3次元で議論を進めるが，さらに高 次元でも成り立つ．このあたりの話は，文献 [1]を参考にした．

図8のように3次元座標の原点を固定して，それを回転させたとする． ここで，それぞれの軸には単位ベクトルの関係を考える．それぞれ の軸の単位ベクトルの大きさは1で，直交している．従って，元の座標系では，

$$\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i}=1 \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{j}=1 \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k}=1$$ (46)

$$\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j}=0 \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{k}=0 \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{i}=0$$ (47)

となる．最初の3つの式が，ベクトルの大きさが1であること示している．次の3つの式が直行関係を表している．同じように回転した座標系でも

$$\boldsymbol{i}^\prime\cdot\boldsymbol{i}^\prime=1 \boldsymbol{j}^\prime\cdot\boldsymbol{j}^\prime=1 \boldsymbol{k}^\prime\cdot\boldsymbol{k}^\prime=1$$ (48)

$$\boldsymbol{i}^\prime\cdot\boldsymbol{j}^\prime=0 \boldsymbol{j}^\prime\cdot\boldsymbol{k}^\prime=0 \boldsymbol{k}^\prime\cdot\boldsymbol{i}^\prime=0$$ (49)

である．それらは基底ベクトルにとることができるので，任意のベクトルを線形和 で表現できる．回転した軸の単位ベクトル $\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$も，元の座標の単位ベクトルの線形和で表すことができる．すなわち，

$$\begin{aligned}\boldsymbol{i}^\prime=a_{11}\boldsymbol{i}+a_{12... ...mbol{i}+a_{32}\boldsymbol{j}+a_{33}\boldsymbol{k}\\ \end{aligned}$$

である．

これら，単位行列を表す係数$a_{ij}$の性質を調べる．そこで，回転した座標の単位行列の内積を計算する．先ほどの直交関係を利用すると，

$$\boldsymbol{i}^\prime\cdot\boldsymbol{i}^\prime =(a_{11}\boldsymbol{i}+a_{12}\boldsymbol{j}+a_{13}\boldsymbol{k}) \cdot(a_{11}\boldsymbol{i}+a_{12}\boldsymbol{j}+a_{13}\boldsymbol{k})$$

$$=a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2$$ (51)

となる．ベクトル $\boldsymbol{i}$の大きさは1なので，

$$a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2=1$$ (52)

を導くことができる．ほかの軸でも同様な操作を行うと，

$$a_{21}^2+a_{22}^2+a_{23}^2=1 a_{31}^2+a_{32}^2+a_{33}^2=1$$ (53)

が得られる．次に，他の軸との内積を計算する．それは，

$$\boldsymbol{i}^\prime\cdot\boldsymbol{j}^\prime =(a_{11}\boldsymbol{i}+a_{12}\boldsymbol{j}+a_{13}\boldsymbol{k}) \cdot(a_{21}\boldsymbol{i}+a_{22}\boldsymbol{j}+a_{23}\boldsymbol{k})$$

$$=a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{23}$$ (54)

となる．ベクトル $\boldsymbol{i}^\prime$と $\boldsymbol{j}^\prime$は直交しているので，

$$a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{23}=0$$ (55)

である．同様に，

$$a_{21}a_{31}+a_{22}a_{32}+a_{23}a_{33}=0 a_{31}a_{11}+a_{32}a_{12}+a_{33}a_{13}=0$$ (56)

が得られる．ここで，得られた結果をまとめると，

$$\sum_{k=1}^3a_{ik}a_{jk}=\delta_{ij}$$ (57)

となる．ここで， $\delta_{ij}$はクロネッカーの記号と呼ばれ，

$$\delta_{ij}= \begin{cases}1 & \text{$i=j$\ の場合} \\ 0 & \text{$i\neq j$\ の場合} \end{cases}$$ (58)

と言う意味がある．

ここで，行列 $\boldsymbol{A}$として

$$\boldsymbol{A}= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$ (59)

を導入する．転置行列は，

$$\boldsymbol{A}^T= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}$$ (60)

となる．すると，式(57)は

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T=I$$ (61)

と書き直すことができる．ここで， $\boldsymbol{I}$は単位行列である．この式から，行列 $\boldsymbol{A}$は直交行列となっていることが分かる．この式から，転置行列が $\boldsymbol{A}$の逆行列になっていることがわかる．すなわち，

$$\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^T$$ (62)

である．

この行列 $\boldsymbol{A}$をつかうと，回転した座標系の単位ベクトルを表す式(50)は，

$$\begin{bmatrix}\boldsymbol{i}^\prime \\ \boldsymbol{j}^\prime \\ ... ...\begin{bmatrix}\boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k} \end{bmatrix}$$ (63)

$\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{T}$なので，

$$\begin{bmatrix}\boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k}... ...ymbol{i}^\prime \\ \boldsymbol{j}^\prime \\ \boldsymbol{k}^\prime \end{bmatrix}$$ (64)

となる．

この行列 $\boldsymbol{A}$は座標軸を回転させたとき，座標の成分の変換を表すことを示す．いま，任意の位置ベクトル $\boldsymbol{r}$を2つの座標系で考える．これは，どちらの座標系から見ても同じベクトルなので，

$$\boldsymbol{r} =x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$$

$$=x^\prime\boldsymbol{i}^\prime+y^\prime\boldsymbol{i}^\prime+z^\prime\boldsymbol{i}^\prime$$ (65)

と書くことができる．したがって，

$$x^\prime\boldsymbol{i}^\prime+y^\prime\boldsymbol{i}^\prime+z^\prime\boldsymbol{i}^\prime =x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$$    式(64)をつかうと

$$=x(a_{11}\boldsymbol{i}+a_{21}\boldsymbol{j}+a_{31}\boldsymbol{k}... ...ldsymbol{k}) +z(a_{13}\boldsymbol{i}+a_{23}\boldsymbol{j}+a_{33}\boldsymbol{k})$$

$$=(a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z)\boldsymbol{i} +(a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z)\boldsymbol{j} +(a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z)\boldsymbol{j}$$ (66)

となる．これらが等しくなるためには，左右のベクトルの係数が等しくなる必要がある．したがって，

$$x^\prime =a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z$$

$$y^\prime =a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z$$

$$z^\prime =a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z$$ (67)

である．これを，行列を使った表現にすると，

$$\begin{bmatrix}x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{bmatrix} = \... ...a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$ (68)

となる．すなわち，単位ベクトルの変換を表す行列は，座標変換を表す行列と同じである．

図 8: 3次元の座標回転

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志