7 スカラー場とベクトル場の2階微分

ほとんどの物理法則は，1階あるいは2階の微分方程式で書かれる．3階の微分方程式な んかお目にかかったことはないし，5階や23階とかも無い．実に不思議なことである．こ こでは，ベクトル演算子を使ったスカラー場とベクトル場の2階微分を考える．

7.1 ベクトル恒等式

ベクトル演算子を使った1階微分は先ほど示したとおりである．2階微分もしばしば現れる ので，それを示しておく．先程述べたようにベクトル演算子も，ベクトルと同じように振 る舞う．そこで，ベクトルに関する式を先に示しておいた方が良いだろう． $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ をベクトルとして，重要なベクトル恒等式は，

$$\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{A}=0$$ (19)

$$\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=0$$ (20)

$$\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})=\boldsymb... ...}\times\boldsymbol{B}) =\boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A})$$ (21)

$$\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) =\boldsy... ...symbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$$ (22)

である．これらの証明は，各自ベクトル解析の教科書を見よ．

7.2 2階微分

スカラー場を $\phi$ ベクトル場を $\boldsymbol{h}$とした場合，ベクトル演算子を使った2階微 分の可能な組み合わせは，次の通りである．

$$\nabla\cdot(\nabla \phi)$$ (23)

$$\nabla\times(\nabla \phi)$$ (24)

$$\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{h})$$ (25)

$$\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{h})$$ (26)

$$\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{h})$$ (27)

これら，全ての組み合わせについて，どうなるか考えよう．

まずは，通常のベクトルの演算で0になるものを探し，その関係を利用して式 (23)〜(27)の演算で0になるものを類推する．以下の ベクトルの演算が0になることは直ちに分かる．

$$\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{A}\phi)=(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{A})\phi=0, より$$ (28)

$$\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=0,$$ (29)

これらの関係から， $\boldsymbol{A}$ を $\nabla$ ， $\boldsymbol{B}$ を $\boldsymbol{h}$ とすると

$$\nabla\times(\nabla \phi)=0$$ (30)

$$\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{h})=0$$ (31)

と類推できる．類推ではあるが，これは正しい式である．学生諸君は，成分を計算してこ れが成立することを確認すること．

次にベクトル公式

$$\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) =\boldsy... ...symbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$$ (32)

を用いた場合を考える． $\boldsymbol{A}$と $\boldsymbol{B}$を$\nabla$で置き換え， $\boldsymbol{C}$を $\boldsymbol{h}$ とすると，

$$\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{h}) =\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{h})-\boldsymbol{h}(\nabla\cdot\nabla)$$ (33)

となる．右辺第2項の $\boldsymbol{h}(\nabla\cdot\nabla)$が変である．この困難を避 けるために，少し技巧的であるが，式(32)を

$$\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) =\boldsy... ...symbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}$$ (34)

とすればよい．右辺第2項は，ベクトル $\boldsymbol{C}$とスカラー $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$との積であるため，演算の順序を入れ替えても良い．こ うすると，式(33)は

$$\begin{aligned}\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{h}) &=\nabl... ...a(\nabla\cdot\boldsymbol{h})-\nabla^2\boldsymbol{h} \end{aligned}$$

となり，正しそうである．事実，これは正しい式である．成分ごとに，きちん と微分を行えば分かる．

以上で，最初に示した2階の微分のうち，式(24)と (26)，(27)の公式を導いた．残りは，特に興 味のあるものは無い．そこで，以上の結果をまとめると

$$\nabla\cdot(\nabla \phi)=\nabla^2\phi=$$ (36)

$$\nabla\times(\nabla \phi)=0$$ (37)

$$\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{h})=$$ (38)

$$\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{h})=0$$ (39)

$$\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{h}) =\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{h})-\nabla^2\boldsymbol{h}=$$ (40)

となる．

ここで，$\nabla^2$ という演算子が現れている．これは，ラプラス演算子と言われるも ので，いろいろな場面で活躍する．これについては，後でのべる．

これまでの話をまとめると，ベクトル演算子$\nabla$は通常のベクトルの演算 規則が成り立ち，便利である．諸君は，これを上手に使えばよい．もし，その 公式が気になるようであれば，成分に分けて，こつこつと微分をしてみれば良 い．

7.3 注意点

先ほど，ベクトル演算子$\nabla$は通常のベクトル演算と同様に扱えると述べ たが，注意が必要である．例えば，通常のベクトル公式

$$(\boldsymbol{A}\psi)\times(\boldsymbol{A}\phi)=0$$ (41)

である．

• これがなぜ0になるか，図に示して説明せよ

もし， $\boldsymbol{A}$を$\nabla$と置き換えると

$$(\nabla\psi)\times(\nabla\phi)=0$$ (42)

となる．ベクトル $\nabla\psi$の方向は$\psi$に関係するし， $\nabla\phi$も 同様である．したがって，0になるのは特殊な場合である．

これは，次のように考える．最初の$\nabla$は$\psi$に作用し，つぎのものは $\phi$に作用する．したがって，同じ$\nabla$でも異なるベクトルと考える．

だからと言って， $\nabla\times\nabla\phi=0$が成り立たないというわけでは ない．この場合，2つの$\nabla$は同じ$\phi$に作用する．

ベクトル演算子 $\nabla$ を $(\partial/\partial x,\,\partial/\partial y,\,\partial/\partial z)$ としてスカラー積やベクトル積を計算して，勾配や発散，回 転を計算できるのは，カーテシアン座標系のみである．ほかの座標系になると，かなり複 雑になる．詳細は，私のwebページに載せている．

http://www.akita-nct.jp/ yamamoto/study/electromagnetics/coodinate_transform/html/coodinate_trans.html

を参考にせよ．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志