2 1変数関数の微分と積分

2.1 微分

普通の滑らかな関数$f(x)$の微分(導関数)を考える．これは，単純で

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ (5)

となる．これは，説明するまでもないであろう．関数の変化の差を変化量で割ったものの 極限をとる操作を微分と言う．分母と分子，いずれもゼロに近づくが，分数の値はある一 定の値に近づく．

ベクトルの微分も，ほとんど同じ考えである．後でのべるが，このことをよく理解してお く必要がある．

図 1: 普通の関数の微分

2.2 積分

つぎに，積分の重要な定理を示しておく．微分したもの--導関数--を積分すると，

$$\int_a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x = f(b)-f(a)$$ (6)

となる．なーんだ，当たり前じゃないかと思うだろう．この式は，

• 微分した関数を積分した量は，関数の両端の値で決まる．

といっている．図2に示すように，途中の関数がどうであろうと，両 端の値で決まるのである．

諸君は，とっくの昔にこのことは理解しているはずである．それならば，本日の学習内容 のベクトル場やスカラー場の積分もすぐに理解できる．ほとんど同じように考えることが できるからである．

図 2: $f^\prime(x)$の積分の量は，積分区間の両端の値$f(a)$と$f(b)$のみに依存 する．途中の値に関係しない．

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著者: 山本昌志