2 静電力と静電場

2.1 静電力の式の分割

先週，クーロンの法則(Coulomb law)について，話した．もう一度，電場を導入するため に，この法則について述べる．真空中に置かれた2つの電荷の間に働く力は，

$$F=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$ (1)

と書くことができる．この式のそれぞれ記号とその単位については，表 1に示している．$qQ$が負であれば，2つの電荷に働 く力は引力となり，正であれば斥力となる．当面， $1/4\pi\varepsilon_0$は比例定数と考 えて欲しい．

表 1: クーロンの法則の単位．ただし，SI単位系である．

記号	物理量	単位	mksAでの表現
F	力	N	m kg s$^{-2}$
Qまたはq	電荷量	C	s A
$\varepsilon_0$	真空中の誘電率	F/m	m$^{-3}$ k$^{-1}$ s$^4$ A$^2$

この力は，2通りの見方ができる．遠隔作用(action at distance)と近接作用(action through medium)である．二つの電荷，$q$と$Q$のみが存在する場合の一方の電荷$q$に働 く力を考える．まずは，遠隔作用であるが，その概念を図  1に示す．電荷$Q$が$q$を引っ張っているのである．それだ けの話であるが，なにもない空間を通して力が作用しているのである．何もない空間を通 して力が作用するということはなかなかイメージできない．このことについては文献  [1] ²には次 のように書かれている．

ニュートンが，太陽-地球間，地球-月間に引力が働くと語ったとき，何もない真空の空 間を隔てて力が，それも瞬間的に及ぼされる--遠隔作用--というそのニュートンの考え方に多くの人が難色を示し，ニュートン自身もこの点ではっ きりとした見解を出せないでいた．特に，日常的に知られる力の大半が，直接的接触に よる圧力や衝撃，あるいはゴムのような弾性体を媒介として伝えられるものであるだけ に，遠隔作用のイメージはえがきにくいものであった．

次に近接作用であるが，そのイメージは図 2である． $Q$があることによる$q$が受ける力は先ほどの遠隔作用と同じである．しかし，力の伝わ り方が異なる．近接作用の場合は2段階で，

• $Q$がその周りの空間をゆがめる(場を変化させる)．
• 場が変化した結果，その場から$q$は力を受ける．

と考える．

どちらが正しいかというと，クーロンの法則だけ考えると，どちらも正しいのである．た だし，より進んだ問題を考えると遠隔作用には多くの問題がある．まずは，力が瞬時に伝 わると言うのは，実験の結果から明らかに間違いである．この問題を解決するような遠隔作用 を考えることもできると思われるが，その他いろいろと困難が生じる．そのようなことか ら，遠隔作用の考えはきっぱり捨てて，近接作用を採用した方が困難が少なくて済む．と いうことで，これ以降，全面的に近接作用の考えで進めることにする．

クーロンの法則の式(1)から，近接作用にするためには，

$$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$ (2)

$$F=qE$$ (3)

とすればよい．最初は，電荷$Q$により$r$の位置の電場$E$が生じると言っている．次の 式は，その電場の作用により電荷$q$は$F$という力を受けると言っている．このように， 場を介して作用を受けるのである．

図 1: 電荷qに及ぼされる遠隔作用

図 2: 電荷qに及ぼされる近接作用

2.2 電場の概念

2.2.1 クーロンの法則と電場

先ほどの電場の導入には，わかり易くするためにベクトルを用いなかった．電場の概念が 分かったので，ベクトルを使った正確な記述を行う．ベクトルを使ったクーロンの法則は，

$$\boldsymbol{F}_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)}{\vert\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\vert^3}$$ (4)

となる． $(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)/\vert\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\vert$は単位ベクトルなので，ちゃ んと距離の2乗に反比例した力になっている．この式がクーロンの法則の全てを言ってい る．ベクトルは便利である．

力は求まった．$q_2$が位置 $\boldsymbol{r}_1$に作る電場は，

$$\boldsymbol{E}_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_2(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)}{\vert\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\vert^3}$$ (5)

となる．$q_2$が作る電場を図に示す．電場に沿った線が電気力線である．教科書にも書 いてあるとおり，このような線は無いがいろいろと便利なので書かれる．「1[C]の電荷か ら， $4\pi\varepsilon$本の電気力線がでている」と言う表現は全くのウソである．この 辺も教科書の通り．ただ，積分もよく分からない者にガウスの法則を教えるために，こじ つけの説明に使われている．

式(5)を一般化して， $\boldsymbol{r}^\prime$の位置にある電荷 $q(\boldsymbol{r}^\prime)$が，ある任意の位置 $\boldsymbol{r}$ につくる電場 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$は

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{... ...ol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert^3}$$ (6)

となる．

図 3: クーロン力

図 4: 電場と電気力線

2.2.2 重ね合わせの原理

いままでは，2つの電荷の間に働く力を問題にしていた．3つ以上の場合はどうなるだろう か? 答えは，それぞれの電荷からによる力のベクトル和である．このことから，電場も ベクトル和になると考えることができる．事実，全ての電荷が作る電場を足しあわせると そこの電場が分かる．このように足しあわせることを重ね合わせの原理と言う．これから， ある任意の位置 $\boldsymbol{r}$ の電場 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$は

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i ... ...(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i\vert^3}$$ (7)

となる．この様子を図5に示す．

次に，電荷が連続的に分布していると仮定しよう．位置 $\boldsymbol{r}$での電荷密度を $\rho(\boldsymbol{r})$とすると，先ほどの和の部分は積分となり，

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{... ...mbol{r}^\prime\vert^3} \mathrm{d}x^\prime \mathrm{d}y^\prime \mathrm{d}z^\prime$$ (8)

と表せる．この様子を図6に示す．宇宙全体にわたってこの積分を行え ば，静電場は分かる．しかし，実際の問題でこの積分を行うことはまず無い．単純な場合 を除いて，この積分を実行することは大変である．そこで，もう少し簡単に計算する方法 を考えることにする．

図 5: 点電荷がつくる電場の重ね合わせ

図 6: 連続分布した電荷が作る電場の重ね合わせ

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志