1 先週の復習と本日の授業内容

1.1 先週の復習

1.1.1 単体の電荷によるクーロン力と電場

静電場の問題は，全てクーロンの法則に帰着できる．そのクーロンの法則は， -4pt

• 電荷の間に働く力の大きさは，距離の二乗に反比例す．
• また，電荷の間に働く力の大きさは，電荷量の積に比例する．同じ符号の電荷の 場合斥力となり，異なる符号の場合引力となる．
• 力の方向は，二つの電荷を通る直線方向である．

である．もちろん，この場合でも「作用・反作用の法則」は成り立つ．図 1のように2つの電荷には力が働く．$q_2$が$q_1$におよぼす力は，

$$\boldsymbol{F}_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)}{\vert\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\vert^3}$$ (1)

となる．$q_2$が $\boldsymbol{r}_1$の位置に電場を作り，その電場が$q_1$に作用を与えたと-- と場の考え方ができる．すると， $\boldsymbol{r}_1$の位置の電場は，

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}_1)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \fra... ...ldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)}{\vert\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\vert^3}$$ (2)

となる．

図 1: クーロン力

1.1.2 多くの電荷がある場合

力は重ね合わせの原理が成り立つので，複数の電荷が作る電場も重ね合わせの原理が成り 立つ．従って，複数の電荷がつくる電場は

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i ... ...(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i\vert^3}$$ (3)

となる．電荷が連続に分布すると，

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{... ...mbol{r}^\prime\vert^3} \mathrm{d}x^\prime \mathrm{d}y^\prime \mathrm{d}z^\prime$$ (4)

と積分であらわすことができる．ここで， $\rho(\boldsymbol{r})$は位置 $\boldsymbol{r}$での電荷密度で ある．

1.1.3 電場の微分方程式と積分方程式

デルタ関数の助けをかりて，式(4)から直接，静電場をあらわす以下の 微分方程式を得ることができる．

$$\div{\boldsymbol{E}}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ (5)

$$\nabla\times \boldsymbol{E}=0$$ (6)

これらから，ガウスの定理とストークスの定理を用いて，積分方程式

$$\int_S\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V$$ (7)

$$\oint\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\ell=0$$ (8)

を得ることができる．

1.1.4 静電ポテンシャル

ベクトル解析の知識から，連続的に電荷が分布する場合のクーロンの法則は，

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=-\nabla \left\{\frac{1}{4\pi\varep... ...c{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime\right\}$$ (9)

と書き換えられる．これから静電ポテンシャル(スカラーポテンシャル)を

$$\phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{V^\prime} ... ...{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime$$ (10)

と定義する．すると，電場は

$$\boldsymbol{E}=-\nabla \phi$$ (11)

とあらわすことができる．

電荷$q$を$A$から$B$まで移動させるの必要な仕事$W$は，

$$W =-\int_A^B\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$

$$=-q\int_A^B\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$

$$=q\int_A^B\nabla \phi \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$

$$=q\left[\phi(B)-\phi(A)\right]$$ (12)

となる．このことから，静電ポテンシャルは電圧と等しいことが分かる．

1.2 本日の学習内容

本日は，先週に引き続き静電場の話をする．先週までに，ガウスの法則の積分形が終わっ たので，その微分形の話かは進める．本日の講義内容は以下の通りである．

• 静電ポテンシャルとポアッソン方程式
• コンデンサーと静磁場のエネルギー

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志