2 電気回路

[問1] 図の回路の両端AB間に電圧$V$をかけたとき，図の電流$I_0$の強さを最小にするには，P 点の位置をCD間のどこにすればよいか．

教科書にならいCP間の抵抗を$X$とする．すると，PD間の抵抗は$R_1-X$となる．あとは， キルヒホッフの法則を使えば計算できる．左の回路 に流れる電流を$I_i$，右の回路に流れる電流を$I_0$とする．すると，以下の連立方程式

$$V-I_1X-(I_1-I_0)R_2=0$$

$$-(I_0-I_1)R_2-I_0(R_1-X)=0$$

が成り立つ．これから，$I_0$を求めることになるが，めんどくさいのでMathematicaを使 う．すると

$$I_0=\frac{R_2V}{-X^2+R_1X+R_1R_2}$$

となる．

この電流を最小にするためには，分母を最大にする必要がある．幸いなことに，分母は上 に凸な二次関数なので，最大値がある．導関数がゼロの場合で，

$$-2X+R_1=0$$

となる．したがって，

$$X=\frac{R_1}{2}$$

となり，丁度，$R_1$の中点にPにすればよい．

[問2] 起電力が$\phi^e$，内部抵抗が$r$の$n$個の電池を直列または並列に接続し，これを抵 抗$R$につないだとき，それぞれの回路を流れる電流の強さを求めよ．

$n$個直列につないだ場合は，$n\phi^e$の電圧が$nr$の抵抗と$R$の抵抗に印可されたと 考える．したがって，この場合，流れる電流は，

$$I=\frac{n\phi^e}{nr+R}$$

となる．

並列につないだ場合の抵抗$R$に流れる電流を$I$とする．すると，各電池に流れる電流は $I/n$となる．オームの法則とキルヒホッフの法則を使うと，

$$\phi^e-\frac{I}{n}r-IR=0$$

となる．これから，電流は，

$$I=\frac{n\phi^e}{r+nR}$$

となる．
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著者: 山本昌志