5 電磁誘導

[問1] 図のように磁石の間に面積 $S=1.0\times10^{-2}\mathrm{m}^2$で，抵抗 $R=10\Omega$の長 方形コイルを設置して，その中心軸のまわりを角速度 $\omega=3\times10^3\mathrm{s}^{-1}$で回転させる．このとき，コイル内に発生する電 流の強さの最大値はいくらか．なお，磁石の作る磁束密度の強さは $B=0.5\mathrm{T}$と する．また，コイル内の誘導電流のつくる磁場による効果は無視してよい．

コイルを貫く磁束$\phi$は，

$$\phi =\int_S B\mathrm{d}S\sin(\omega t+\theta_0)$$

$$=BS\sin(\omega t+\theta_0)$$

と書ける．コイル1周に発生する電圧$V$は，

$$V =\oint\boldsymbol{E}\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$

$$=\int_S\nabla\times \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=\int_S\left(- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi \right)$$

$$=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S \phi\mathrm{d}S$$

$$=-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$$

となる．フラックス$\phi$は，最初に示した式を使う．すると，

$$V=-\omega BS\sin(\omega t+\theta_0)$$

と電圧を求めることができる．電流はオームの法則$V=IR$より

$$I =\frac{V}{R}$$

$$=-\frac{\omega BS\sin(\omega t+\theta_0)}{R}$$

となる．電流の最大値は， $\omega BS/R$となり，それぞれ値を代入すると， 1.5[A]になる．

[問2] 図のように幅が$\ell$で抵抗が無視できる導線に質量$m$抵抗$R$の導線a,b を水平にか けて閉回路をつくる．この閉回路に垂直に一様な静磁場 $\boldsymbol{B}$をかけて，導線abを自 由落下させたとき，その終速度を求めよ．なお，このとき導線間の摩擦力と閉回路内の 誘導電流のつくる磁場は無視できるものとする．

導線a,bが一番上にあるとき$x=0$とする座標を選び，下に向かうとそれが増加するように する．すると回路が囲む面積$S$は，$x\ell$となる．ここを貫く，フラックスは $\phi=x\ell B$ となる．抵抗は，導線a,bのみなので，その間の電圧は，

$$V =-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$$

$$=-\ell Bv$$

である．これから，回路に流れる電流は

$$I=-\frac{\ell Bv}{R}$$ (38)

となる．

この電流が流れることにより，ローレンツ力が発生することになる．ローレンツ力は， $qvB$となるが，電荷密度$\rho$と導線の断面積$S$と長さ$\ell$を考えると

$$F =qvB$$

$$=\int \rho vB\mathrm{d}V$$

$$=\rho vBS\ell$$

$$\rho vS=I$$

$$=IB\ell$$

と書くことができる．終速度に達した場合，このローレンツ力と重力による力が釣り合う ので， $mg+Iv\ell=0$となる．電流は分かっているので，終速度は，

$$v=\frac{Rmg}{B^2\ell^2}$$

となる．
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著者: 山本昌志