6 マクスウェルの方程式

[問1] 微分形のマクスウェルの方程式を示せ．

微分形のマクスウェルの方程式は，以下の通りである．

	$\displaystyle \div{\boldsymbol{D}}=\rho$
	$\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$
	$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}=- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi$
	$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+ \if 11 \frac{\partial... ...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$

[問2] ガウスの定理とストークスの定理を使って，微分形のマクスウェルの方程式を積分形に書き改めよ．

微分形のマクスウェルの方程式は，

	$\displaystyle \div{\boldsymbol{D}}=\rho$
	$\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$
	$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}=- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi$
	$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+ \if 11 \frac{\partial... ...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$

である．これらの式を

	$\displaystyle \int_V\div{\boldsymbol{A}}\mathrm{d}V=\int_S\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$		$\displaystyle ガウスの定理$
	$\displaystyle \int_S\nabla\times \boldsymbol{A}\mathrm{d}S=\oint\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\ell$		$\displaystyle ストークスの定理$

を使って，積分形に書き直す．

マクスウェルの方程式の1番目の式の両辺を体積積分を行い，ガウスの定理を使うと

$\displaystyle \int_V\div{\boldsymbol{D}}\mathrm{d}V=\int_V\rho\mathrm{d}V$

ガウスの定理 $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \int_S\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_V\rho\mathrm{d}V$

となり，積分形のガウスの法則が得られる．

同じことをマクスウェルの方程式の2番目の式に施すと

$\displaystyle \int_V\div{\boldsymbol{B}}\mathrm{d}V=0$

ガウスの定理 $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \int_S\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=0$

が得られる．これが磁場に関する積分形のガウスの法則である．

次に，マクスウェルの方程式の番目の式に面積積分を行い，ストークスの定理を使うと

$\displaystyle \int_S\nabla\times \boldsymbol{E}\mathrm{d}S=\int_S\left(- \if 11... ... \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S$

ストークスの定理 $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \int_C\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

が得られる．これは，積分形で表したファラデーの電磁誘導の法則である．

最後は，マクスウェルの方程式の4番目の式に同じようにストークスの定理を応用すると

$\displaystyle \int_S\nabla\times \boldsymbol{H}\mathrm{d}S=\int_S\left(\boldsym... ... \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S$

ストークスの定理 $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \int_C\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \int_S\bold... ...frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

が得られる．これは，積分形のアンペール-マクスウェルの法則である．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成19年7月24日