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[問1]
自由空間中のマクスウェルの方程式を示せ.
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自由空間では,電流や電荷はない.したがって,マクスウェルの方程式の中で,
,
とすればよい.すると,自由空間での電磁場を表すマクスウェルの方程式
が得られる.
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[問2]
自由空間中のマクスウェルの方程式から,以下の波動方程式を導け.
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自由空間では,電流や電荷はない.したがって,マクスウェルの方程式は
となる.
この式のうち3番目のものの両辺に回転の演算子を作用させると,
0 |
![$\displaystyle =\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{E}+ \if 11 \frac{\partial ...
... t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\nabla\times \boldsymbol{B})$](img309.png) |
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マクスウェルの方程式の4番目の式)より |
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![$\displaystyle =\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{E}+\varepsilon_0\mu_0 \if ...
...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$](img310.png) |
(39) |
となり,電場のみの式にできる.ここで,右辺第一項であるが,これはベクトル恒等式
![$ \nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A}=\nabla (\div{\boldsymbol{A}})-\nabla^2\boldsymbol{A}$](img311.png)
を使い,
0 |
![$\displaystyle =\nabla (\div{\boldsymbol{E}})-\nabla^2\boldsymbol{E} +\varepsilo...
...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$](img312.png) |
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マクスウェルの方程式の1番目の式より |
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![$\displaystyle =-\nabla^2\boldsymbol{E}+\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial...
...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$](img313.png) |
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と変形できる.これで,電場のみの式となった.
同様のことを磁場について行う.マクスウェルの方程式の4番目の式の両辺の回転の演算
子を作用させると
0 |
![$\displaystyle =\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if ...
... t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\nabla\times \boldsymbol{E})$](img314.png) |
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とマクスウェルの方程式の3番目の式より |
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![$\displaystyle =\nabla (\div{\boldsymbol{B}})-\nabla^2\boldsymbol{B} +\varepsilo...
...bol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi$](img316.png) |
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マクスウェルの方程式の2番目の式より |
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![$\displaystyle =-\nabla^2\boldsymbol{B}+\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial...
...bol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi$](img317.png) |
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が得られる.
以上の操作により得られた電場と磁場の式を整理すると,
が得られる.
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年7月24日