2 マクスウェルの方程式から、ヘルムホルツ方程式へ

2.1 マクスウェルの方程式

電磁現象を記述する微分方程式は、マクスウェルの方程式と呼ばれ

$$\div{\boldsymbol{D}}=\rho$$ (1)

$$\div{\boldsymbol{B}}=0$$ (2)

$$\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+ \if 11 \frac{\partial... ...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$$ (3)

$$\nabla\times \boldsymbol{E}=- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi$$ (4)

と書かれる4組の連立の微分方程式である。ここで、

記号	物理量	単位	スカラー/ベクトル
$\boldsymbol{D}$	電束密度	[ $\mathrm{C/m^2}$]	ベクトル
$\boldsymbol{B}$	磁束密度	[T]あるは[ $\mathrm{Wb/m^2}$]	ベクトル
$\boldsymbol{H}$	磁場(の強さ)	[ $\mathrm{A/m}$]	ベクトル
$\boldsymbol{E}$	電場(の強さ)	[ $\mathrm{V/m}$]	ベクトル
$\rho$	電荷密度	[ $\mathrm{C/m^3}$]	スカラー
$\boldsymbol{j}$	電流密度	[ $\mathrm{A}/\mathrm{m^2}$]	ベクトル

である。物質中では、

$$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$$ (5)

$$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$$ (6)

$$\boldsymbol{j}=\sigma\boldsymbol{E}$$ (7)

という関係で結びつけられている。ここで、 $\varepsilon$は誘電率、$\mu$は透磁率、 $\sigma$導電率である。これらの量は、一般 ²には2階のテンソルになる。

2.2 ヘルムホルツの方程式

ヘルムホルツ方程式は、楕円型の微分方程式で

$$\nabla^2 u+ku=0$$ (8)

の形のものを言う。$u$はベクトルの場合とスカラーの場合がある。ここでは、真空で何もない 空間の電磁場の方程式が、この形になることを示す。ようするに、マクスウェルの方程 式に何もない空間(真空)と言う条件を課して、ヘルムホルツ方程式を導くのである。

まずは、何もない真空の空間ではあるが、そこには電磁場は存在する。しかし、 電荷や電流は存在しないものとする。従って

$$\rho=0$$ (9)

$$\boldsymbol{j}=0$$ (10)

$$\sigma=0$$ (11)

となる。また、真空中では誘電率や透磁率は一定で、それらは $\varepsilon_0,\mu_0$と 書き表すことにする。これら、真空中という条件をまとめると、マクスウェルの方程式は、

$$\div{\boldsymbol{E}}=0$$ (12)

$$\div{\boldsymbol{H}}=0$$ (13)

$$\nabla\times \boldsymbol{H}= \varepsilon_0 \if 11 \frac{\partial ... ...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi$$ (14)

$$\nabla\times \boldsymbol{E}=-\mu_0 \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{H}}{\partial t^{1}}\fi$$ (15)

となる。これは、電場と磁場の連立微分方程式である。

これをそのまま計算するのは大変なので、電場、あるいは磁場のみの式に直す。そのため に、式(14)の両辺に回転の演算子を作用させる。すると、

$$\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{H}=\varepsilon_0\nabla\time... ...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi$$ (16)

となる。この式の左辺はベクトル恒等式と式(13)を用いると

$$\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{H} =\nabla \div{\boldsymbol{H}}-\nabla^2\boldsymbol{H}$$

$$=-\nabla^2\boldsymbol{H}$$ (17)

と変形できる。一方、式(16)の右辺は時間と空間の微分である回転を入 れ替え、式(15)を用いると、

$$\varepsilon_0\nabla\times \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi =\varepsilon_0 \if 11 \frac{\partial }{\partial t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\nabla\times \boldsymbol{E})$$

$$=\varepsilon_0 \if 11 \frac{\partial }{\partial t} \else \frac{\p... ...\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{H}}{\partial t^{1}}\fi \right)$$

$$=-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{H}}{\partial t^{2}}\fi$$ (18)

となる。これら、左辺と右辺の結果の式(17), (18)から、式(16)は

$$\nabla^2\boldsymbol{H}-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \... ...{H}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{H}}{\partial t^{2}}\fi =0$$ (19)

と書き直せる。これが、磁場を表す微分方程式である。この式は、空間の2回微分と時間 の2回微分の項が現れており、波動方程式になっている。この式は、何もない空間で時間 変化する電磁場は波になっていると言っているのである。波であれば、その速度があり、 この式から電磁場の伝搬速度$c$は、

$$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$$ (20)

が分かる。この$c$は光速を示し、電磁場の伝搬速度速度である。驚いたことに、誘電率 $\varepsilon_0$と透磁率$\mu_0$が光速と関係しているのである。

時間変化する波を解析する場合、周波数に分解して考えるのは常套手段である。ここでは、 それをフーリエ解析を用いて丁寧に示すことにする。ここの磁場$H$は、時間と空間の関 数である。そして、時間の関数は変数分離できることは直感的に理解できる。したがって、 磁場は

$$\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)=\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r})f(t)$$ (21)

と書き表せるだろう。そして、この時間の項$f(t)$をフーリエ変換すると

$$g(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i\omega t}dt$$ (22)

となる。この$g(\omega)$を用いて、フーリエ逆変換することにより、時間の項は

$$f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)e^{-i\omega t}d\omega$$ (23)

と表せる。これで、式(19)をヘルムホルツ方程式に直す準備 は整った。

波動方程式(19)の磁場$H(vm{r})$の項を変数分離して、その 時間の項をフーリエ解析で処理すれば、目的のヘルムホルツ方程式が得られる。まずは、 式(19)を式(21)を用いて、 変数分離すると、

$$\nabla^2\left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r})f(t)\right]- \frac{1}... ...tial^{2} }{\partial t^{2}}\fi \left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r})f(t)\right]=0$$    時間と空間の微分を分けると

$$f(t)\nabla^2\left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r})\right]- \boldsym... ...}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} }{\partial t^{2}}\fi \left[f(t)\right]=0$$ (24)

と書き表すことができる。この式に、フーリエ解析の式(23)を適用す ると、

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)e^{-i\omega... ...{\infty}g(\omega)e^{-i\omega t}d\omega \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r}) \right]=0$$ (25)

となる。時間の2階微分は、 $(-i\omega)^2$がでるため、

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)e^{-i\omega... ...infty}^{\infty}g(\omega)e^{-i\omega t}d\omega \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r}) =0$$ (26)

と書き表せる。積分の項は同じなので、両辺をそれで割ると、

$$\nabla^2\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r}) +\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r}) =0$$ (27)

とヘルムホルツ方程式が得られる。ここで、この微分方程式の解である $\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r})$ を固有関数、 $\left(\frac{\omega}{c}\right)^2$を固有値と言う。

電場の場合も全く同様にして求められる。電場の場合は

$$\nabla^2\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) +\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) =0$$ (28)

となる。

ヘルムホルツ方程式は、時間の微分が入らないため、計算がきわめて簡単になる。この2 階の微分方程式を適当な境界条件を課して、解けば電磁場が分かる。これは、モードに分 けて計算しているので、時間の項は全て $e^{-i\omega t}$がかかることになる。この辺の 話は、また機会があるときにする。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志