2 固有値問題の行列

ヘルムホルツ方程式を有限要素法によって固有値問題にすると，

$$\bf {Ku} = \lambda \bf {Mu}$$ (2)

という形の一般化固有値問題になる．ここで，ディレクレ条件は斉次ディレクレ条件とし， 節点の番号は，ディレクレ条件が最後になっているものとする． すなわち，全節点数が$n$でディレクレ条件以外の節点が１番から$m$番まで， $m+1$番から$n$番までは，斉次ディレクレ条件だとする． このような前提条件で行列をつくると，$m$行$m$列の行列 $\bf {K},\bf {M}$ が以下のようにつくられる．

まず，$\bf {K}$を決定する． $k_{ij}$の要素$(I)$の寄与による項は以下のようになる．

$$\left. k_{ij} \right\vert _{(I)} = 2 \pi \left( \frac{\partial \p... ...al z} \frac{\partial \phi_j }{\partial z} \right) \int\!\!\!\int_{(I)} r \ drdz$$ (3)

これをさらに計算すると以下のようになる．

$$\left. k_{ij} \right\vert _{(I)} = 2 \pi \frac{1}{6\Delta} (r_i+r_j+r_k) \left[ (z_j-z_k)(z_k-z_i) + (r_j-r_k)(r_k-r_i) \right]$$ (4)

同様に，$\bf {M}$も求めていく． $m_{ij}$の要素$(I)$の寄与による項は以下のようになる．

$$\left. m_{ij} \right\vert _{(I)} = 2 \pi \int\!\!\!\int_{(I)} r \phi_i \phi_j drdz$$ (5)

これをさらに計算すると以下のようになる．

$$\left. k_{ij} \right\vert _{(I)} = \begin{cases}(1/120) (2r_i+2r_j+r_k) \Delta \ (i\not=j)\\ (1/60) (3r_i+r_j+r_k) \Delta \ (i=j) \end{cases}$$ (6)

ここで，$\Delta$は三角形の面積の２倍で，

$$\Delta = r_i z_j + r_j z_k + r_k z_i - z_i r_j - z_j r_k - z_k r_i$$ (7)

となる．

この一般化固有方程式を解けば固有振動数が求められる．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 夏井拓也