3.1 指数関数の級数和
式(
17)に示された
![$ \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}e^{i \ell x_j}$](img142.png)
は
以下のように等比級数の和を考えることにより導くことができる。
![$ \ell$](img147.png)
は整数なので分子は常にゼロで、分母は
![$ \ell/N$](img148.png)
が整数でないときはゼロではない。
従って、
![$ \ell/N$](img149.png)
が整数でないとき(
![$ \ell\neq 0$](img150.png)
の場合)、この式はゼロになることが分
かる。一方、
![$ \ell/N$](img151.png)
が整数のとき(
![$ \ell=0$](img152.png)
の場合)、分母もゼロとなる。このときの式
の値を評価するために、分母分子をテイラー展開して、
![$ \ell\to 0$](img153.png)
の極限を考える。
以上より、式(
17)が求められた。しかし、最後の
![$ \ell\to 0$](img158.png)
の極限
の操作はかなり強引に思えるが、数学の専門家はどう考えるか興味がある。
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年6月29日