3 付録

3.1 指数関数の級数和

式(17)に示された $\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}e^{i \ell x_j}$は 以下のように等比級数の和を考えることにより導くことができる。

$$\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}e^{i \ell x_j} =\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}\left(e^{i \ell\frac{2\pi}{N}}\right)^j$$

$$=\frac{1}{N}\frac{1-e^{i\ell\frac{2\pi}{N}N}}{1-e^{i\ell\frac{2\pi}{N}}}$$

$$=\frac{1}{N}\frac{1-e^{2\pi i\ell}}{1-e^{2\pi i\frac{\ell}{N}}}$$ (31)

$\ell$は整数なので分子は常にゼロで、分母は$\ell/N$が整数でないときはゼロではない。 従って、$\ell/N$が整数でないとき( $\ell\neq 0$の場合)、この式はゼロになることが分 かる。一方、$\ell/N$が整数のとき($\ell=0$の場合)、分母もゼロとなる。このときの式 の値を評価するために、分母分子をテイラー展開して、$\ell\to 0$の極限を考える。

$$\lim_{\ell\to 0}\frac{1}{N}\frac{1-e^{2\pi i\ell}}{1-e^{2\pi i\frac{\ell}{N}}} =\lim_{\ell\to 0}\frac{1}{N}\frac {1-(1+2\pi i\ell-4\pi^2\ell^2+\cdots)} {1-(1+2\pi i\frac{\ell}{N}-4\pi^2\frac{\ell^2}{N^2}+\cdots)}$$ (32)

$$=\lim_{\ell\to 0}\frac {-2\pi i\ell+4\pi^2\ell^2+\cdots} {-2\pi i\ell-4\pi^2\frac{\ell^2}{N}+\cdots}$$

$$=1$$

以上より、式(17)が求められた。しかし、最後の$\ell\to 0$の極限 の操作はかなり強引に思えるが、数学の専門家はどう考えるか興味がある。

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著者: 山本昌志