2 計算機によるフーリエ級数

2.1 離散フーリエ変換(フーリエ$cos$展開)

ここでは、計算機によりフーリエ変換を行う方法を説明します。フーリエ変換 と言っても、実際はフーリエ級数の係数を求めているだけです。今までは数学 だったので、関数$f(x)$は連続的な値でした。しかし、実際の測定量、例えば 電圧など連続的に測定してそのデータが蓄えられるわけでは有りません。連続 ではなく離散的なデータとなります。これを上手に扱いフーリエ変換する方法 を考えましょう。とは言っても、上手にフーリエ変換するFFTまではたどり着 きませんが、そのさわりを説明します。

ここでも話を簡単にするために、周期を$2\pi$とします。そして、原点を境に 対称な場合を考えます。これは、連立方程式の練習問題がそうなっていたから で、一般的な問題に拡張することは容易です。一般化についても、後に示す私 の講義ノートを参照してください。

その、周期の半分[$0,\,\pi$]中でN個の等間隔でデータが得られたとします。 当然、原点を境に対称という仮定がありますので、[$-\pi,\,0$]の値も分かっ ていますが、ここでは使いません。データが等間隔に並ぶということは重要で す³。すなわち、

$$x_j =\frac{\pi}{N}j\qquad(j=0,1,2,\cdots,N-1)$$ (14)

の点でデータが得られたものとします。ここで得られデータを

$$f_j=f(x_j)$$ (15)

とします。

さて、準備ができたので、実際のフーリエ級数の式 (1) を評価してみます。測定量である$f_j$と $x_j$はそれぞれN個しかありません。従って、フーリエ係数の$c_n$もN個しか 決めることはできません。関数は対称と仮定していますので、反対称を示す $b_n$はゼロとなり、$a_n$の $n=0,1,2,\cdots,N-1$を求めることになります。 この$a_n$を積分の式(11)を使わないで、連立方程式から 計算しようというのです。

すなわち、

$$f(x)=\sum_{n=0}^{N-1}a_n \cos(nx)$$ (16)

を満たす$a_n$を求めることになります。ここで残された問題は、測定量の $x_j$と$f_j$から$a_n$を決めることになります。これは比較的簡単で、

$$f_j=\sum_{n=0}^{N-1}a_n \cos(kx_j)\qquad(j=0,1,2,\cdots,N-1)$$ (17)

の連立方程式を解けば良いことが分かります。この式の形が分かりにくい。そ れではもう少し分かり易く書いてみましょう。

$$\begin{pmatrix}f_0\\ f_1\\ f_2\\ \vdots\\ f_{N-1} \end{pmatrix} =... ...) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\\ a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_{N-1} \end{pmatrix}$$ (18)

$f_j$と$x_j$は既知なので、この連立方程式を解いて$a_j$を計算することは 可能です。その解がフーリエ係数$a_n$となります。高速フーリエ変換(First Fourier Transform 略してFFT)は、この$a_n$をある工夫されたアルゴリズム で高速に計算しているだけです。

「なるほど、連立方程式ならば計算機は得意なので、式 (18)を解けば話は終わり」と思ってはいけません。こ こでの学習はこれを実際に計算してみることですが、実際には高速に計算する ためにいろいろと工夫ができます。何しろ、$N=1000$位になるとこの式を計算 するのに膨大な時間がかかりますので、計算時間の短縮が必要になります。

この計算を高速で行うように工夫したアルゴリズムが、離散フーリエ変換 (DFT)であったり高速フーリエ変換(FFT)と呼ばれるものです。これは、データ が等間隔で並んでいるという性質を利用する方法です。もう少し詳しい説 明は、私の5M実験の講義ノートの「フーリエ変換とその周辺」を見てください。 URLは以下の通りです。

http://www.ipc.akita-nct.ac.jp/ yamamoto/lecture/2003/5M_Exp/lecture_5M_Exp/fourier_transform.pdf

2.2 練習問題について

式が分かったので練習問題の内容について説明します。練習問題は、図 1に示すデータから、フーリエ級数を求めようとするもので す。周期は$2\pi$で、原点を中心に対称としています。図からも分かるように 三角波をフーリエ$cos$展開することになります。

この波形のフーリエ級数は、積分ではなく式(18)の連 立方程式を解くことにより求めることができます。図1を表 す式は、以下の通りです。

$$\begin{pmatrix}0\\ \frac{1}{N}\\ \frac{2}{N}\\ \vdots\\ \frac{N-1... ...) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\\ a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_{N-1} \end{pmatrix}$$ (19)

この連立方程式を解いて、式(16)に代入すれば、 離散的な点を通る式を求めることができます。最終的には、後述の ページの図2のようになります。

図 1: 練習問題のデータ

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志