2 方程式

2.1 コンデンサーの性質

コンデンサーを規定する重要な性質にキャパシタンス(静電容量)があるのは、十分承知し ていると思う。これを計算する方法は、いろいろある。その中で、私が好んで使う方法は、 エネルギーから計算する方法である。これは、電場の状態がキャパシタンスを決めるとい う意味で非常に物理的意味が分かりやすい。空間に電場 $\boldsymbol{E}$が分布している場合、その エネルギー $\boldsymbol{U}$は

$$U_s =\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E}dV$$ (1)

となる。 $\frac{1}{2}\varepsilon\boldsymbol{E}^2$が静電場のエネルギー密度になっている。信 じられない、それならば次元解析をしてみよ。

また、よく知られているように、コンデンサーの電圧$V$とキャパシタンス$C$、 そして、そこにたまっているエネルギーの関係は、

$$U_c=\frac{1}{2}CV^2$$ (2)

である。コンデンサー内部では、それらは図1のような関係になっ ている。これからも分かるように、コンデンサーの内部には式 (1)が示す静電場のエネルギーが蓄えられている。一方、電 気的には、式2が示すエネルギーが蓄えられている。 これらのエネルギーは、当然等しいので、

$$\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E}^2dV=\frac{1}{2}CV^2$$ (3)

という関係がある。この式の左辺の電場はいろいろな方法で計算でき、静電場のエネル ギーを求めることができる。一方、電圧$V$は予め与えられているので、このエネルギーをつ かって、静電容量が計算できる。要するに、静電場$E$を求めることができれば、静電容 量$C$が計算できるのである。

いままで、よく分からなかった静電容量というものは、コンデンサーに蓄えられるエネルギーを示す 指数と考えて良い。私は、この考え方が好きである。なにしろ、分かりやすい。

図 1: コンデンサーの様子

2.2 コンデンサー内部の電場

先に示したとおり、コンデンサー内部の電場が分かれば、そのキャパシタンスを求めるこ とができる。それは簡単ではないか、電圧$V$を電極間距離$L$で割れば、$E=V/L$と求め られると言う人がいる。これは、コンデンサー内部で誘電率が一様な場合は正しい。そん な単純な問題は、いままでさんざん学習してきたし、つまらない。ここでは、もう少し難 しい問題を解くことにする。

誘電率が、3次元($x,y,z$の関数)で変化すると計算が大変なので、1次元問題に限ること にする。2次元や3次元も考え方は同じであるが、計算は大変である。ここで、計算するコ ンデンサー内部は、図2のとおりとする。誘電率は、座標の関数で、 変化するものとする。

このような場合の電場はどうなるのであろうか?。一つの方法は、ポアッソン方程式 ²

$$\nabla^2(\varepsilon\phi)=0$$ (4)

を解くことである。ここで、はポテンシャルで、電圧のことである。少し気取って 書いているのである。この微分方程式を $\phi(0)=V_0,\phi(L)=V_1$の境界条件で解けば良 い。そうすると必要なものが全て計算できるので、静電容量を計算できる。しかし、今回 は、この方法で計算しないことにする。

ポアッソン方程式の代わりに、コンデンサー内部の電場は、そのエネルギーが最小になる ように分布すると言う原理を使う。当然、このばあいでも、境界条件 $\phi(0)=V_0,\phi(L)=V_1$は課せられている。コンデンサーの内部のエネルギーは、1次元 なので、

$$U_s =\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E_x}^2dV$$

$$=\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \boldsymbol{E_x}^2dx$$ (5)

と書ける。

このポテンシャル分布をコンピューターに計算させるために、コンデンサーの内部を細か くN等分に区切る。この様子を図3に示す。すると、エネルギーは

$$U_s$$

$$=\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \left(\frac{d\phi}{dx}\right)^2dx$$

$$=\frac{S}{2}\sum_{i=1}^{N}\frac{\varepsilon_i+\varepsilon_{i-1}}{2} \left(\frac{\phi_i-\phi_{i-1}}{h}\right)^2h$$ (6)

となる。

静電場のエネルギーが最小になるためには、微分がゼロになる必要がある。このエネルギー をポテンシャル$\phi_i$で微分すると

$$\if 11 \frac{\partial U_s}{\partial \phi_i} \else \frac{\partial^... ...2} \left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_{i}}{h}\right) \right]\qquad(i=1,2,3,\cdots,N-1)$$ (7)

となる。$U_s$が最小値になるためには、 $\if 11 \frac{\partial U_s}{\partial \phi_i} \else \frac{\partial^{1} U_s}{\partial \phi_i^{1}} \fi =0$となる必要がある。 また、コンデンサーの両端の電圧は固定されているので、 $\phi_0=V_0$で $\phi_N=V_1$である。 従って、これらをまとめると

$$\left\{ \begin{aligned}&\phi_0=V_0\\ &-\left(\varepsilon_{i-1}+... ...ilon_{i+1}\right)\phi_{i+1}=0\\ &\phi_N=V_1 \end{aligned} \right.$$

となる。要するに、この連立1次方程式を計算すれば、任意の誘電率の場合のコンデンサー内部のポテ ンシャル(電圧)が得られる。ポテンシャルが分かれば、電場が分かり、そうすると内部の エネルギーが計算できる。従って、静電容量が求められるわけである。

じつは、ここで示した計算方法は有限要素法と呼ばれている。

図 2: コンデンサー内部

図 3: 分割の様子

...このような場合の電場はどうなるのであろうか?。一つの方法は、ポアッソン方程式 ²

$\div {\varepsilon\boldsymbol{E}=0}$と $\boldsymbol{E}=-\nabla \phi$から求められる。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志