式(1)は行列とベクトルで書くと、式がすっきりして 考えやすくなる。書き直すと、
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ここで、解く問題は行列
が
の正方行列で、その行列式が
ゼロでないものとする。要するに、普通に解ける連立方程式である。ここで、
解くべき問題は、既知の
と
から、行列方程式(
)を満たす、
を求めることになる。この行列方
程式解く過程で、
の逆行列や行列式の値を求めることができる。逆
行列や行列式は連立方程式と密接にかかわっているのである。
通常、連立1次方程式(1)は
行列やベクトルを使うと、格好良いばかりでなくコンピューターで扱いやすく
なる。例えば、行列
の要素
はプログラム中では2次元配
列a[i][j]として扱える。同様にベクトル
は1次元配列
b[k]として扱える。
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(5) |
次に考えられるのは、
の逆行列
を用いて、
から計算する方法である。この方法も、計算量と精
度の面で問題がある。
連立1次方程式の計算方法は大別して、2通りある。1つは、ここで学習す
る消去法で、他方は反復法と言われる方法である。どちらが良いかは、係数行列
の性質に依存する。一般に、
が密なとき、即ちほとんどの要
素がゼロでないときは、消去法が有利である。一方、殆どの要素が
ゼロで、
が疎のとき、反復法が有利である。
ここでは消去法を学習するが、反復法について簡単に紹介しておく。まず、
係数行列を
と変形します。すると、元の連立1次方程
式は、
となる。これを解くために、
漸化式
とする。もし、
初期値
が良ければ、
は真の解
に
収束する。もちろん、
は容易に計算できる連立1次方程式になるよ
うに選ぶ。この選び方により、ヤコビの反復法やガウス・ザイデル法、
SOR法などがある。