数値計算は言うに及ばず科学技術全般の考察にテイラー展開(Taylor expansion)は、重要
な役割を果たす。電気の諸問題を考察する場合、いたるところにテイラー展開は顔を出す
ので、十分理解しなくてはならない。まずは、
![$ x=a$](img4.png)
の回りのテイラー展開は、
と書ける。
0の階乗は
![$ 0!=1$](img6.png)
となることに注意。
![$ f^{(n)}(a)$](img7.png)
は、関
数
![$ f(x)$](img8.png)
を
![$ n$](img9.png)
回微分したときの
![$ x=a$](img4.png)
の値である。テイラー展開は、任意の関数
![$ f(x)$](img8.png)
は、無限のべき級数に展開できると言っている。その係数が、
![$ \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)$](img10.png)
である。次に、
![$ a=0$](img11.png)
としてみる。この場合、
となる。これがマクローリン展開(Maclaurin expansion)である。次に
![$ x-a=\Delta x$](img13.png)
とする。そして、
![$ a=x_0$](img14.png)
とすると
となる。これは、しばしばお目にかかるパターン。
通常我々がテイラー展開を使う場合、この式
(1)〜式(3)
のいずれかである。
![$ N$](img16.png)
個の未知数があり、それが式の数が等し連立方程式を考える。この場合、連立方程式
は
と書くのは中学校以来の習慣である。実際の問題を解く場合、これでは見通しが悪いので
線形代数の知識を使う。この連立方程式の係数と未知数、非同次項を、
のような行列やベクトルで表す。すると、連立方程式(
4)は、
のように表現できる。
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成16年11月29日