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(23) |
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(24) |
これらの式(27)と(28)を元の2次元ラプラス 方程式(24)に代入すれば、
実際にこの式を数値計算する場合、計算領域を間隔で格子状3に区切り、その交点での値を求めることになる。
ここでは、xおよびy方向には等間隔
で区切り計算を進めるが、等間隔である必要はな
い。多少、式(29) は異なるが同じような計算は可能である。これまでの説
明が理解できていれば、xとy方向の間隔が異なっても、式(29)に対応する差
分の式が作れるはずである。
実際、数値計算をする場合、や
の形は不便なので、形式を改め
る。各格子点でのポテンシャルを
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ラプラス方程式は式(31)の連立方程式を解くだけである。格子に領域を分 割することにより、難しげな偏微分方程式が連立方程式に還元されたわけである。
連立方程式を解くわけであるが、このままでは、式の数と未知数の数が異なる。格子点で のポテンシャルの値を求めるためには、境界条件を設定する必要がある。それにより、式 の数と未知数の数が同一になり、格子点でのポテンシャルを求めることができる。
波動方程式の他に、初期条件と境界条件がある。力学的状態は、ある時刻、ここでは
の時の変位とその変位の速度が決まれば、それ以降を決めることができる。振動の
場合は、これに加えて更に、振動の境界条件を決める必要がある。これらが決まって初め
て、波動方程式とともに、振動の状態、ある時刻と位置の変位の値が決まるわけである。
図4に初期条件と境界条件の様子を示す。
まずは、波動方程式を差分方程式に書き直すことからはじめる。これも、いつものように、
解をテイラー展開する。x方向の微小変位を
、時間軸方向の微小変位
を
とする。すると、
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これらの式(34)と(35)を元の波動 方程式(32)に代入すれば、
実際に式(37)を数値計算する場合、x方向には、時間
軸方向には
毎に分割する。ラプラス方程式を格子点で分割したのと
同じである。格子点に分割し数値計算する場合、
や
と表現する
よりは、
と表現したほうが便利である。そこで、
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