2.1 ベクトル場の回転

2 ベクトル場の回転とストークスの定理

2.1 ベクトル場の回転

2.1.1 大きな領域での話

完全流体の渦の速度は、半径に反比例する。

$\displaystyle v=\frac{\Omega}{2\pi r}$

(1)

ここで、 $\Omega$ は渦の強さを表し、これがある位置が渦の中心である。そうして、渦が半時計回りの時、 $\Omega \geq 0$ とする。これを取り囲むように積分を行うと、

$\displaystyle \oint \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{l}=\Omega$

(2)

となる。これは、これは渦の中心を取り囲んで、一回りすれば、積分の経路によらずいつも同じ値をとる。それは、次のように考える。渦の中心を中心に同心円の積分の値はいつも同じ、 $\Omega$ になることは、簡単な計算で分かる。これが成り立つのは、流速 $\boldsymbol{v}$ が半径に反比例しているからである。ここで、図1のように、1周の $\Delta\theta/2\pi$ を考える。当然、 $\Delta\theta$ は非常に小さいとする。この場合、同心円状の積分の一部である、線分1の積分は $\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{l}=vr\Delta\theta$ になるのは、直ちに分かる。次に、任意の積分経路の一部である線分2を考える。 $\Delta\theta$ が非常に小さいので、線分2の平均的な流速も

になるであろう。線分の長さは $r\Delta\theta/\cos(\phi)$ となる。ただし、式 (2)の積分は内積となっているため、

$\begin{equation*}\begin{aligned}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{l} &=\frac{vr\Delta\theta}{\cos(\phi)}\cos(\phi)\\ &=vr\Delta\theta \end{aligned}\end{equation*}$

となる。したがって、線分1に沿っても、線分2に沿っても積分の値は同じである。このことから、どこのパスで積分しても値は同じことが理解できる。

これまでの話は渦であったが、電流と磁場は

$\displaystyle \boldsymbol{B}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

(4)

という関係があるので、同じことが言える。この式の左辺はベクトル、右辺はスカラーになっており矛盾しているが、今は細かいことを考えないこととする。後で、静磁場を学習するときに矛盾ない式を示すので我慢してほしい。磁場の式(2)に対応するものは、

$\displaystyle \oint\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l}=\mu_0 I$

(5)

となる。

**図 1:** 積分範囲
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/uzu_int.eps}$

2.1.2 微小領域での話

次に、教科書に従い、微小領域でベクトル場の回転を考える。ただし、教科書の表現は気に食わないので、少し図2のように変える。積分は、図の矢印に沿って一周、積分を行う。

まず、図の下の部分と上の部分の積分を考える。ただし、 $\delta x$ と $\delta y$ が非常に小さいので、積分は積の和に置き換えられる。同じx座標で、上の部分と下の部分の積分は

$\begin{equation*}\begin{aligned}\int_{\text{top,bottom}} &=v_x(x,y)\delta x-v_x(... ...\frac{\partial v_x}{\partial y}\delta y \delta x \\ \end{aligned}\end{equation*}$

となる。テイラー展開の1次まで計算し、2次以降の高次を無視するのは常套手段でよく覚えておく必要がある。同様に、左右の積分は、

$\displaystyle \int_{\text{left,right}}=\frac{\partial v_y}{\partial x}\delta x \delta y$

(7)

となる。この上下の積分と左右の積分を足し合わせて、一周の積分とする。それは、

$\begin{equation*}\begin{aligned}\oint \boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{l} &=-\fr... ... x} -\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\delta S \end{aligned}\end{equation*}$

となる。この式の右辺の括弧内は、まさに応用解析で学習したベクトル場の回転である。すなわち、

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}(\nabla\times\boldsymbol{v})_x= \frac{\p... ...artial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\\ \end{aligned} \right.\end{equation*}$