3 スカラー場の勾配

これまで、ベクトル場の微分として、発散( $\nabla\cdot$)と回転 ( $\nabla\times$)を示した。残りは、スカラー場の勾配を説明する必要がある。 2次元のスカラー場として、山の高さ$f(x,y)$がある。経度$x$と緯度$y$が決 まれば、山の高さが決まるような場合である。ただし、実際の地理では地上の 凹凸が滑らか(微分可能)でない場合もしばしば有るがここではそれは考えない。 図3のような等高線で山の高さを表すことにする。

$(x,y)$の位置から $(x+dx,y+dy)$へ移動したときの、山の高さの変化$df$は、

$$\begin{aligned}df &=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\part... ...frac{\partial f}{\partial y} \right) \cdot(dx,\,dy) \end{aligned}$$

となる。このときの演算

$$\nabla f=\left( \frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y} \right)$$ (18)

を勾配と言う。要するにスカラー場にナブラ演算子を作用させること。実際は、 3次元の場合が多く、普通は

$$\nabla f=\left( \frac{\partial f}{\partial x} ,\,\frac{\partial f}{\partial y} ,\,\frac{\partial f}{\partial z} \right)$$ (19)

と書かれる。

• 図3で$\nabla f$が最大の点はどこか?
• 図3で$\nabla f$が最小の点はどこか?

図 3: 等高線地図

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著者: 山本昌志