3 負の整数の表現

コンピューター内部で負の整数を表現する方法はいろいろ考えられる．ここでは，2通りの 方法を示すが，符号ビットを用いる方法は現在では使われていないので，忘れてしまって も良い．諸君は，2の補数を用いる方法を理解しなくてはならない．

3.1 符号ビットを用いる方法(絶対値表示)

これまでは，正の整数を2進数あるいは16進数で表現することを学習した．次に，負の整 数を表す方法を学習する．通常の負の数は，

$$(-0100110011101111)_2=(-4CEF)_{16}=(-19695)_{10}$$

と，マイナスの記号を書く．コンピューターでこれを表現するためには，符号ビットとし て，1ビット用意すれば良い．たとえば，先頭のビットが1の場合，それはマイナスを表す とする．例えば， $(-19695)_{10}$ は，コンピューター内部で1100110011101111と 表すのである．

これは良い方法のように思える．しかし，1000000000000000と 0000000000000000が同じゼロを表すことになる．明らかに不便である．また，詳し くは述べないが，これを使った負の数の演算のためのハードウェアー(CPU)が複雑になり， 現代ではこの方法は使われていない．実際には，次に述べる2の補数を使って，コンピュー ター内部では，負の数を表すのである．

3.2 2の補数

3.2.1 理論的な話

負の整数は，補数(complement)を使って，コンピューター内部では表現される．それを図 4に示すが，手順は，次の通りである．

1. 絶対値を2進数のビットパターンで表現し，その反転を行う．
2. 反転されたビットパターンに1を加算する．

このようにしてできたビットパターンをメモリーに記憶させ，それを負の数として取り扱 う．

図 4: 負の整数をメモリーに格納する方法

2の補数表現のイメージは，図5の通りである．車の距離計に 似ている．

図 5: 距離計イメージ(2の補数表示)

2の補数を使うメリットは，減算が加算器で可能なことである．それでは，なぜ，補数表 現だと，減算が加算器で可能なのだろうか?．減算の演算は，負の数の加算と同じである． したがって，図5のように負の数を表現すると，負の整数の加 算は正の整数の加算と同じと分かるであろう．したがって，加算器で減算が可能となる． 実際，正の数の減算を行うときは，ビットの反転と+1加算を実施して，加算器で計算する． イメージは，図5の通りであるが，もう少し，理論的に説明を おこなうとしよう．ある正の整数をxとする．その負の数，$-x$ は補数表現では，

$$[-x]=(FFFF-x+1)_{16}$$ (2)

となる．左辺の$[-x]$ が$-x$ の意味である．$[\quad]$ の意味は，括弧内の負の整数を計 算機内部の表現を表している．これは，私が作った表記なので，一般には用いられていな い．右辺の$FFFF-x$ がビット反転になっている．ここでは，16ビットで整数を表現しよう としているので，$FFFF$ から$x$ を引いてビット反転させている．疑問に思う者は実際に 計算して見よ．それに1を加えて，補数の表現としている．つぎに，ある整数$y$ を考えて， y-xを計算してみよう．

$$[y-x]=(y+FFFF-x+1)_{16}$$ (3)

$FFFF-x+1$ は，あらかじめ計算されて，コンピューター内部のメモリーに格納されている ので，$[y-x]$ は加算器で可能である．これは，あたりまえである．重要なことは，この結 果が，負の場合，2の補数表現になっており，正の場合，そのままの値になっていること である．

演算の結果，y-xが負になる場合を考えよう．すると式(3)は，

$$[y-x]=\left\{FFFF-(x-y)+1)\right\}_{16}$$ (4)

と変形できる．この場合，絶対値が $(x-y)$ なので，絶対値のビット反転と+1加算となっ ていることが理解できる．つぎに，$y-x$ が正になる場合を考えましょう．すると式(3)は，

$$[y-x] =(y-x+FFFF+1)_{16}$$

$$=(y-x+10000)_{16}$$ (5)

となる． $(10000)_{16}$ は計算機内部では，桁上がりを示す．16ビットの表示では無視される．し たがって，内部の表現は，正しく表せる．

[

l]コーヒーブレイク この方法で負の数を表すことは，1970年頃には常識となったようです．驚いたことに，負 の数をこの補数で表すアイディアは，パスカルが最初です．パスカルは，パスカリーヌと いう歯車式計算機を1642年頃に製作しています．そこの減算を加算器で行うために，補数 というものを考えたようです．

3.2.2 ビット反転と+1加算の意味

$x$ を正の整数として，$-x$ をコンピューターの内部で表現する場合，

1. $x$ をビット反転する．
2. +1加算する．

の操作で得られたものその内部表現になる．式で表すと，

$$[-x]=(FFFF-x+1)_{16}$$ (6)

である．この操作の意味を調べてみよう．結論から言 うと，この操作は符号反転(-1乗算)の操作になっている．それを示すために，もう一度こ の操作を繰り返してみる．すると，

$$\left\{FFFF-(FFFF-x+1)+1\right\}_{16} =(x)_{16}$$

$$=[x]$$ (7)

となる．このことから，この操作は，符号反転であることが理解できる．式 (6)は，$x$ の符号反転を示しており，式(7) は$-x$ の符号反転を示している．

式(6)は，-xのコンピューターの内部表現を表している．従って，元の xを求めるためには，その逆の操作

1. 1減算(-1加算)する．
2. ビット反転する．

をすればよく，式だと

$$\left[FFFF-\left\{(FFFF-x+1)-1\right\}\right] =(x)_{16}$$

$$=[x]$$ (8)

となる．しかし，元の表現を得るためには，式(7)の演算でも良 いはずである．式(8)を変形すると，容易に式 (7)を導くことができる．これらのことから，以下の結論を導く ことができる．

• ビット反転と+1加算の操作は，整数のコンピューターの内部での表現の符号反転で ある．
• この符号反転の反対の操作である1減算とビット反転の操作は，ビット反転と1加 算と同じ操作である．

3.2.3 2の補数表現と10進数の通常の表現の変換

これは，教科書に書いてあるとおり．
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著者: 山本昌志