3.2 原理

図3.1のようなCR直列回路に交流電圧$V$を加えたとき、 抵抗およびコンデンサーの両端の電圧

$$V_R =\frac{i\omega CR}{1+i\omega CR}V$$

$$=\frac{i\omega\tau}{1+i\omega\tau}V$$ (3.1)

$$V_C =\frac{1}{1+i\omega CR}V$$

$$=\frac{1}{1+i\omega\tau}V$$ (3.2)

となる。ここで、$V_R$が抵抗、$V_C$がコンデンサー両端の電圧である。 $\tau$は時定数で、$\tau=CR$と定義する。ここで、 $\omega\tau$が1に比べて 十分小さい場合、抵抗両端の電圧$V_R$は電源電圧の微分となる。また、コン デンサーの電圧$V_C$は電源電圧の積分となる。

素子間の電圧を電源電圧との比[dB]であらわす、

$$G_R =20\log_{10}\left(\frac{\vert V_R\vert}{\vert V\vert}\right)$$ (3.3)

$$G_C =20\log_{10}\left(\frac{\vert V_C\vert}{\vert V\vert}\right)$$ (3.4)

となる。これを、周波数 $f=\omega/(2\pi)$を横軸に、$G_R$と$G_C$を縦軸に してグラフに描くと、図3.2のような特性曲線が得られる。

同様に、電源との位相差は、

$$\theta_R =\arctan\left[\frac{\Im(V_R/V)}{\Re(V_R/V)}\right]$$

$$=\arctan\left(\frac{1}{\omega CR}\right)$$ (3.5)

$$\theta_C =\arctan\left[\frac{\Im(V_C/V)}{\Re(V_C/V)}\right]$$

$$=\arctan\left(\omega CR\right)$$ (3.6)

となる。$\Re$は実数部、$\Im$は虚数部を表す。これをグラフに描くと、図 3.2のような特性曲線になる。

この図中の$f_c$は $V_R=V_C=V/\sqrt{2}$となる周波数で、これをCR回路の遮 断周波数と言う。このとき、位相差は、 $\theta_R=\theta_C=\pi/4$ [rad]=45 [deg]となる。

図 3.1: CR回路

図 3.2: ゲインと位相(C=0.001[$\mu$F], R=10[k$\Omega$])

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著者: 山本昌志