A.1 一階線型常微分方程式

回路の動作を表す1階の微分方程式は、

$$y^\prime+P(x)y=Q(x)$$ (A.1)

のような一階線型同次常微分方程式がしばしば現れる。$Q(x)=0$の場合を同次、 $Q(x)\ne 0$の場合を非同次と言う。

非同次の場合は変数分離形なので、それは簡単に一般解が求められる。この場合、一般解 は

$$y=c_1e^{-\int P(x)dx}$$ (A.2)

である。ここで、$c_1$は任意定数である。

非同次の場合は少し難しくなり、いろいろな方法がある(たとえば、 [1] に見よ)。ここでは、式(A.1)の両辺に適当な関数 $\varphi(x)$を乗じ て、変数分離形にする。そうすると、左辺は $y^\prime\varphi+P\varphi y$となる。この 左辺が $(y\varphi)^\prime$となれば、変数分離形となり容易に計算できる。このように 変数分離形になるためには、

$$\varphi^\prime=P\varphi$$ (A.3)

であればよい。これはちょうど変数分離形になっており、

$$\varphi(x)=e^{\int P(x) dx}$$ (A.4)

である。この関数を元の微分方程式の両辺に乗じることになるので、積分定数は省いてい る。

変数分離形にするために、式(A.4)を 式(A.1)の両辺に乗じると

$$y^\prime \varphi(x)+\varphi(x) P(x)y=Q(x)\varphi(x)$$ (A.5)

となる。先に示したように $\varphi(x) P(x)=\varphi^\prime (x)$なので、

$$\left[y\varphi(x)\right]^\prime=Q(x)\varphi(x)$$ (A.6)

である。これもまた、変数分離形なので、積分は簡単である。積分の後、整理すると、

$$y=\frac{1}{\varphi(x)}\left[\int Q(x)\varphi(x)dx+c_1\right]$$ (A.7)

となる。したがって、元の微分方程式(A.1)の一般解は

$$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c_1\right]$$ (A.8)

である。
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著者: 山本昌志