A.2 二階線型常微分方程式
コイルとコンデンサーの両方が含まれる回路を表す微分方程式は、二階線型常微分方程式
になることが多い。「LCRの過渡応答」の実験では、
の形の微分方程式が現れる。ここで、
![$ \kappa$](img324.png)
,
![$ \lambda$](img325.png)
,
![$ \mu $](img2.png)
は定数である。この微
分方程式の解き方を示す。
式(A.9)のように同次項がある時(非同次と言う)、その一般解は、
の形で表すことができる。2階の非同次微分方程式を解く場合、これらの2つの階を求め、
その和を一般解とするのは定石である。
式(A.9)の特殊解
は、簡単に分かる。それは、
![$\displaystyle y_1=\frac{\mu}{\lambda}$](img328.png) |
(A.10) |
となる。これを元の式に代入すれば、その解になっていることは直ちに分かる。
残る問題は、同次方程式
の一般解を探すことである。科学技術の分野では、このタイプの方程式では、
![$\displaystyle y=e^{i\omega x}$](img330.png) |
(A.12) |
を解と仮定する。そして、これが解となるように
![$ \omega$](img11.png)
を決める。これを元の同次微分
方程式に代入して整理すると、
となる。すると、2次方程式の解の公式より、
![$ \omega$](img11.png)
は
![$\displaystyle \omega=\frac{\kappa i\pm\sqrt{4\lambda-\kappa^2}}{2}$](img332.png) |
(A.14) |
とならなければならない。これら、2つの
![$ \omega$](img11.png)
とも、式
(
A.11)の解となる。また、この微分方程式は線型な
ので、重ね合わせの原理が成り立つため、2つの解の線型和も解となりうる。従って、同
次微分方程式(
A.11)の一般解
![$ y_2$](img333.png)
は、
となる。これは、2階の微分方程式で2個の定数があり一般解にふさわしい。
ところが、式(A.13)が重根、すなわち、
の場合、事情が異なる。式
(A.15)の未知数が一つなくなり、一般解とならない。
この場合、一般解
は
となる。元の式(
A.11)に代入して確かめよ。
以上をまとめると、微分方程式(A.9)の一般解は、
![$\displaystyle y=\begin{cases}%
\cfrac{\mu}{\lambda}+ c_1\exp\left(\cfrac{-\kapp...
...eft(-\cfrac{\kappa}{2}x\right) & \text{$4\lambda-\kappa^2=0$のとき} \end{cases}$](img337.png) |
(A.17) |
となる。これは、
![$ 4\lambda-\kappa^2$](img338.png)
の値が正や負、0により、曲線の形がかなり
異なるので注意が必要である。
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成17年5月13日