2 原理

2.1 基本

一定振幅，一定周波数の電気振動を持続して発生する現象を「発振」と言い，このような電気振動を発生する回路を発振回路と言う．

電気振動を持続して発生させるためには，発振回路にエネルギーの供給が必要となるが，この供給は直流電源によってなされる．すなわち，発振器とは直流エネルギーを振動エネルギーに変換する装置であるとも言える．

電気振動回路は大別して，

自励発振回路
他励発振回路
パラメーター励振振動回路

に分けられ，このうち自励振の正弦波発振回路は，さらに

4端子発振回路
2端子発振回路

に分類される．前者は，出力の一部を入力に戻すいわゆる帰還増幅の機構を持ち，後者は負性抵抗素子と共振回路の組み合わせから成っている．

本実験で用いるCR発振回路は4端子発振回路に分類されるので，以降は4端子発振回路の原理について述べる．

**図 1:** 4端子発振器の原理構成
r50mm $\includegraphics[width=40mm]{figure/OSC/4tanshi_osc.eps}$

4端子発振回路は，図1のように利得

の増幅器の出力

が帰還回路を通し

倍されて入力に戻される構造となっており，このことは次式で表される．

$\displaystyle G(e_i+He_o)=e_o$

(1)

したがって，帰還をかけたときの電圧利得

は

$\displaystyle G_F=\frac{e_o}{e_i}=\frac{G}{1-GH}$

(2)

となる．

増幅器は，基本的には電子の運動によって動作するが，電子の動きには時間的な「ゆらぎ」 (雑音成分)がある．もし，の回路(帰還回路)に周波数選択性を持たせておけば，この「ゆらぎ」成分の中から特定の周波数成分の振動だけ次第に成長し，平衡状態では持続振動となる．このように振動が成長する過程を「発振が立ち上がる」と言い，振動が成長するためには

$\displaystyle e_i\leq He_o$

(3)

が成り立たなければならない．すなわち，

$\displaystyle G=\frac{e_o}{e_i}\geq \frac{1}{H}$

$\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle GH\geq 1$

(4)

が成立することが必要である．

を帰還係数(帰還率とも言う)，

をループ利得と言う．

そして，増幅器は無限に大きい出力を出すことはできないので，振動が成長すると振幅制限効果が働いて

$\displaystyle e_i=He_o$

$\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle G=\frac{e_0}{e_i}=\frac{1}{H}$

$\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle GH=1$

(5)

が成り立つような状態で平衡に達する．この状態が「発振」である．

利得はそれ自体複素数であり，位相回転を伴うが，良好な発振を得るためには，目的の発振周波数においては実数とみなせるような素子を選ばなくてはならない．すなわち，は入力と出力が同期(0相，または利得が正であるとも言う)か，または逆相( $\pi$ 相，または利得が負であるとも言う)でなければならない．したがって，を満足するためにはも実数でなければならず，の虚数部は0ということになる．

4端子発振回路は，大別してLC発振回路とCR発振回路に分類できるが，本実験ではCR発振回路を対象とするので，以降はCR発振回路について述べる．

2.2 CR発振回路

発振回路は，大別して

180度位相回路と逆相(位相反転とも言う)増幅回路の組み合わせ
0位相選択回路と正相増幅回路の組み合わせ

に分類される．本実験で用いるCR発振回路は前者の形式の回路で，一般に移相形CR発振回路と呼ばれ，図2の構成となっている．

**図 2:** 位相発振器
$\includegraphics[keepaspectratio,scale=1.0]{figure/OSC/phase_osc.eps}$

逆相増幅回路としては，エミッタ接地形の増幅回路がその条件を満たしており，入力インピーダンス小，出力インピーダンス大の電流増幅器として働くことから，以降は利得の計算は電流利得で行うものとする．

CRを用いたい相回路としては，図3のように進相形と遅相形の2とおりが考えられるが，ここでは進相形について，その位相理論を述べる．

**図 3:** 位相回路の基本形
$\includegraphics[keepaspectratio,scale=1.0]{figure/OSC/basic_phase_circuit.eps}$

図3(a)の進相形のように電圧，電流の分布を仮定すれば，

$\displaystyle \begin{bmatrix}e_1 \ i_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & \fra... ... & 1+\frac{1}{i\omega CR} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}e_2 \ i_2 \end{bmatrix}$

(6)

が成り立つ．ここで，

が極めて小さく，無視できるものとすれば

$\displaystyle i_1\simeq 1+\frac{1}{i\omega CR}i_2$

(7)

となり，ここで， $X=1/\omega CR$ とおけば，電流伝送比

は

$\displaystyle A_F$	$\displaystyle =\frac{i_2}{i_1}$
	$\displaystyle =\frac{1}{1+\frac{1}{i\omega CR}}$
	$\displaystyle =\frac{1}{1-iX}$
	$\displaystyle =\frac{1}{1+X^2}+i\frac{X}{1+X^2}$	(8)

となり，その位相角 $\theta$ と大きさ $\vert A_F\vert$ は

	$\displaystyle \theta=\arctan X$	(9)
	$\displaystyle \vert A_F\vert=\frac{1}{\sqrt{1+X^2}}$	(10)

で表せる．

すなわち，位相角 $\theta$ は

$\displaystyle X\ll 1$	のとき	$\displaystyle \theta\rightarrow +0$
$\displaystyle X=1$	のとき	$\displaystyle \theta\rightarrow +\pi/4$
$\displaystyle X\gg 1$	のとき	$\displaystyle \theta\rightarrow +\pi/2$

となり，

の全範囲において，最大 $\pi/2$ しか移相できないことが分かる．また，

のときは， $\vert A_F\vert$ が極めて小さくなり，

の振幅減衰量が余りにも大きくなって実用的でない．したがって，厳密には $\theta$ を $\pi/2$ とすることは不可能であるから， $\pi$ [rad]の移相を実現するためには，図 4のようにこの移相回路を少なくとも3段縦続接続することが必要である．

**図 4:** 3段縦接続による位相回路
$\includegraphics[keepaspectratio,scale=1.0]{figure/OSC/3steps_phase_circuit.eps}$

この場合，

$\displaystyle \begin{bmatrix}e_1\ i_1 \end{bmatrix}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & \frac{1}{i\omega C} \ \frac{1}{R} & 1+\frac{1}{i\omega CR} \end{bmatrix}^3 \begin{bmatrix}e_2 \ i_2 \end{bmatrix}$
	$\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & -iRX \ \frac{1}{R} & 1-iX \end{bmatrix}^3 \begin{bmatrix}e_2 \ i_2 \end{bmatrix}$	(11)