3 補間法

実験やシミュレーションを行うと，離散的にデータが得られるのは普通である．例えば， 半導体の電圧・電圧特性の測定では， $(V_0,I_0),\,(V_1,I_1),\, (V_2,I_2),\,(V_3,I_3),\,\cdots,\,(V_N,I_N)$ のようなデータが得られる．通常，この データはグラフ化して解析を進める．このデータの場合，2次元のグラフ上に測定点が並 ぶことは，今まで学習してきたとおりである．

実験等を通して得られる結果は離散的であるが，実際の現象は連続的なことが多い．この 離散的な値を用いて，測定点の間の値，ここでは電流と電圧の関係を求めるのが補間法の 役割である．ここで学習したラグランジュ補間もスプライン補間も，全てのグラフ上の測 定点を通る曲線の方程式を求めている．

2次元のグラフ上の点は，数学では座標$(x,\,y)$ の点として与えられる．以降の説明では， 電圧・電流などのように特定の問題にとらわれないよう，一般化した座標$(x,\,y)$ で話 を進める．

3.1 ラグランジュ補間

平面座標上に$N+1$ 個の点がある場合，その全ての点を通る曲線は$N$ 次関数で表せること は，数学で学習したとおりである²．2個の場合，1次関数，すなわち直線で，その2点を通る関数 を決めることができる．3点の場合は，2次関数である．

この性質を利用すると，$N+1$ 個の点がある場合，$N$ 次関数で補間できることが分かる． ラグランジュ補間とは，まさにこのことそのものである．数学の授業で，ある3点 $(x_0,y_0),\,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2)$ を通る2次関数 $y=ax^2+bx+c$ の$a,b,c$ を求めた ことがあると思うが，それと同じである．そこでは，それぞれの$x$ と$y$ の値を代入して， 連立方程式をつくり$a,b,c$ を求めたはずである．

コンピューターを用いて，$N+1$ 個の点を通る$N$ 次方程式を表す$N+1$ 個の係数を連立方 程式を解くことにより求めることは可能である．しかし，最終目的の$N$ 次関数の値を求 めると言う意味では不経済である．補間という目的からすると，関数を形成する係数なん か，全く興味の対象外なのである．そこで，係数が分からなくても，$N$ 次関数を示すも のとして，ラグランジュ補間が使われる．

2次元座標上に$N+1$ 個の点， $(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$ のラグランジュ補間は，

$$\begin{align*}\begin{aligned}y&=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_N)} {(x_0-... ...)} {(x_N-x_0)(x_N-x_1)(x_N-x_2)\cdots(x_N-x_{N-1})}y_N \end{aligned}\end{align*}$$ (10)

となる．

この式(10)を見ると，

• 各項の分母は定数で，分子はN次関数である．このことから，全ての項はN次関数 になっていることが理解できる．したがって，この式はN次関数(N次多項式)である．
• $x$ に $x_0,x_1,x_2,\cdots,y_N$ を代入すると，$y$ の値は $y_0,y_1,y_1,\cdots,x_N$ になることが分かる．これは，データ点 $(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$ の全てを 通過していることを示している．

となっている．

式 (10)をもうちょっと格好良く書けば，

$$L(x)=\sum_{k=0}^{N}L_k(x)y_k$$ (11)

ただし，

$$L_k(x) =\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_N)} {(x_k-x_0)(x_k-x_1)(x_k-x_2)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_N)}$$

$$=\frac{x-x_0}{x_k-x_0}\times\frac{x-x_1}{x_k-x_1}\times\frac{x-x_... ..._k-x_{k-1}}\times\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}\times\cdots\frac{x-x_N}{x_k-x_N}$$

$$=\prod_{j=0}^{N(j\neq k)}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}$$ (12)

となる．

ラグランジュ補間の考え方は単純で，その計算も簡単である．しかし，補間の点数が増え てくると，ラグランジュの補間には問題が生じる．ラグランジュの補間では，補間の点数 が増えてくると大きな振動が発生して，もはや補間とは言えなくなる．ラグランジュの補 間には常にこの問題が付きまうので，データ点数が多い場合は使えなくなる．

3.2 スプライン補間

3.2.1 区分多項式

ラグランジュの補間は，データ点数が増えてくると関数が振動し問題が発生する．そこで， 補間する領域をデータ間隔 $[x_i,x_{i+1}]$ に区切り，その近傍の値を使い低次の多項式 で近似することを考える．区分的な関数を使うことになるが，上手に近似をしないと境界 でその導関数が不連続になる．導関数が連続になるように，上手に近似する方法がスプラ イン補間(spline interpolation)である．

補間をするデータは，先と同じように $(x_0,y_0)\,,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,\cdots,\,(x_N,y_N)$ とする．そし て，区間 $[x_j,x_{j+1}]$ で補間をする関数を$S_j(x)$ とする．この様子を 図1に示す．

図 1: スプライン補間の区分

3.2.2 係数が満たす式

3次のスプライン補間を考えるので，

$$S_j(x)=a_j(x-x_j)^3+b_j(x-x_j)^2+c_j(x-x_j)+d_j \qquad(j=0,1,2,3,\cdots,N-1)$$ (13)

となる．スプライン補間を行う場合，この $a_j, b_j, c_j, d_j$ を決めることが，主な作 業である．

これらの4$N$ 個の未知数を決めるためには，$4N$ 個の方程式が必要である．そのために， 3次のスプライン補間に以下の条件を課すことにする．

• 全てのデータ点を通る．各々の$S_j(x)$ に対して両端での値が決まる ため，2$N$ 個の方程式ができる．
• 各々の区分補間式は，境界点の1次導関数は連続とする．これにより， $N-1$ 個の方程式ができる．
• 各々の区分補間式は，境界点の2次導関数は連続とする．これにより， $N-1$ 個の方程式ができる．

以上の条件を課すと$4N-2$ 個の方程式が決まる．未知数は4$N$ 個なので，2個方程式が不 足している．この不足を補うために，いろいろな条件が考えられるが，通常は両端$x_0$ と$x_N$ での2次導関数の値を0とする．すなわち， $S_0^{\prime\prime}(x_0)=S_{N-1}^{\prime\prime}(x_N)=0$ である．これを自然スプラ イン(natural spline)と言う．自然スプライン以外には，両端の1次導関数の値を指定す るものもある．

これで全ての条件が決まった．あとは，この条件に満たす連立方程式を求めるだけである．

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著者: 山本昌志