3 静磁場の基本法則

この辺をきちんとすると、かなりの数式を羅列する事になってしまう。そこで、ここでは教科書に沿って、直感的なイメージを大切にして、説明する。

3.1 磁場に関するガウスの法則

定常電流の作る磁場を実験でいろいろ調べてみると、図6のようになっていることが分かった⁷。ちょうど、電流が流れる方向とねじの方向を一致させると、磁場の方向は右ねじの回転方向と一致する。これを右ねじの法則といい、電流と磁場の方向を示している。

**図 6:** 磁場
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/define_B.eps}$

1本の長い電線が作る磁場を考えよう。磁場は、電線の周りに回転としてできる。このような場合、どのような微小の体積を考えても、その発散はゼロである。要するに、どんな部分をとっても、入ってくる磁場のフラックスと出て行くフラックスは等しい。すなわち、

$\displaystyle \int_S \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=0$

(6)

である。これは、たとえ、電線を取り囲んだ体積を考えても、そうなる。この左辺は、ガウスの発散定理

$\displaystyle \int_S \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_V\div{\boldsymbol{B}}\mathrm{d}V$

(7)

が成立する。したがって、

$\displaystyle \int_V\div{\boldsymbol{B}}\mathrm{d}V=0$

(8)

である。これはいかなる領域でも成立するので、

$\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$

(9)

となる。磁場の発散はなく、必ず磁場は元に戻ることを言っている。

電場の場合は、電荷から電気力線が出ていて、どこか無限遠点に行くか、反対の電荷に吸収されていた。磁場の場合、磁力線は閉じた線である。このことは、電荷に相当する磁荷は無いと言っている。

3.2 積分形のアンペールの法則

前節の結果から、磁場の発散は分かった。磁場を決めるためには、回転を求める必要がある。そのために、図7のような経路で積分を行う。電流は無限に長い直線とする。この場合の磁場は、式(5)を使えばよい。半径

での線積分は

$\begin{equation*}\begin{aligned}\oint\boldsymbol{B}\cdot d\ell &=\oint\frac{\mu_... ...mu_0}{2\pi}\frac{I}{R}R\mathrm{d}\theta\\ &=\mu_0 I \end{aligned}\end{equation*}$

となる。この結果は、磁場が直線電流からの距離の

に比例することから、容易に予想できる結果である。重要なことは、直線電流からある距離離れた磁場の線積分は、距離に依存しないことである。

これは、ガウスの法則、点電荷の作る電場の面積分が、距離に依存しないのと同じである。この場合も、最初、球の中心に点電荷を置き、一般的に閉じた面で成り立つことを示した。同じことを、ここでも行う。次に、積分路を図8のように変形させると、 $\delta\boldsymbol{\ell}=\delta\boldsymbol{t}+\delta\boldsymbol{r}+\delta\boldsymbol{z}$ と書くことができる。磁場の方向、すなわち $\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{R}$ の方向は、 $\delta t$ に平行で、 $\delta r$ と $\delta z$ には垂直となる。したがって、積分は先ほどと同じで、

$\begin{equation*}\begin{aligned}\oint\boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\ell &=\oint\... ...i}\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r}rd\theta\\ &=\mu_0 I \end{aligned}\end{equation*}$

となる。図9のように積分路を変更しても同じである。これまでの結果から、閉じた線路での積分はいつも同じ値になることが分かる。

**図 7:** 積分範囲が円
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_circle.eps}$

**図 8:** 同一円筒での積分
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_same_cylinder.eps}$

**図 9:** 同一面での積分
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_same_plain.eps}$

今までは、1本の直線電流であったが、磁場は重ねあわせができるので、複数本でも成り立つ。あるいは、電流がデルタ関数のように離散的ではなく、連続的な分布、密度 $\boldsymbol{j}$ として存在する場合も成り立つ。これらは、磁場が重ね合わせの原理が成り立つからである。さらに、証明はしなかったが電流が曲線であっても成立する。このことから、

$\displaystyle \oint\boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_S\mu_0 \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

(12)

が成り立つ。これを積分形のアンペールの法則と言う。右辺は、線積分を囲む電流の総和になっていることに注意が必要である。

ところで、この積分の外側の電流の寄与はどうなるのであろうか?。外側の電流であろうとも、この積分路には磁場を発生させる。結論を先に言うと、

外側の電流による磁場はあるが、積分を行うとゼロになる。

である。このことは、電荷でやったのと同じことを行えばよい。図 12の通りである。

**図 10:** 任意の場合の積分路
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_arb_line.eps}$

**図 11:** 複数の導線が積分路を貫く場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_sum_current.eps}$

**図 12:** 積分路の外側に電流が在る場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.9]{figure/int_outside_current.eps}$

3.3 微分形のアンペールの法則

諸君は、ストークスの定理を知っている。それを使うと、式(12) の左辺は、

$\displaystyle \oint\boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_S\nabla\times B\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

(13)

となる。これから、積分形のアンペールの法則は、

$\displaystyle \int_S\nabla\times B\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_S\mu_0 \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

(14)

と書き改められる。この式は、任意の面で成り立つ。そのためには、

$\displaystyle \nabla\times B=\mu_0 \boldsymbol{j}$

(15)

となる必要がある。これがアンペールの法則の微分形である。全てが場の量となっているので、理論的には扱いやすくなる。

このアンペールの法則の言っていることは、電流が磁場の回転を作っている。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成19年6月24日