7 スカラー場とベクトル場の2階微分

ほとんどの物理法則は、1階微分あるいは2階微分方程式で書かれる。3階の微分方程式な んかお目にかかったことはないし、5階や23階とかも無い。実に不思議なことである。こ こでは、ベクトル演算子を使ったスカラー場とベクトル場の2階微分を考える。

7.1 ベクトル恒等式

ベクトル演算子を使った1階微分は先ほど示したとおりである。2階微分もしばしば現れる ので、それを示しておく。先程述べたようにベクトル演算子も、ベクトルと同じように振 る舞う。そこで、ベクトルに関する式を先に示しておいた方が良いだろう。 $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ をベクトルとして、重要なベクトル恒等式は、

$$\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{A}=0$$ (19)

$$\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=0$$ (20)

$$\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})=\boldsymb... ...}\times\boldsymbol{B}) =\boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A})$$ (21)

$$\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) =\boldsy... ...symbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$$ (22)

である。これらの証明は、各自ベクトル解析の教科書を見よ。

7.2 2階微分

スカラー場を $\phi$ ベクトル場を $\boldsymbol{h}$とした場合、ベクトル演算子を使った2階微 分の可能な組み合わせは、次の通りである。

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\phi)$$ (23)

$$\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\phi)$$ (24)

$$\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{h})$$ (25)

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{h})$$ (26)

$$\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{h})$$ (27)

これら、全ての組み合わせについて、どうなるか考えよう。

まずは、通常のベクトルの演算で0になるものを探し、その関係を利用して式 (23)〜(27)の演算で0になるものを類推する。以下の ベクトルの演算が0になることは直ちに分かる。

$$\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{A}\phi)=(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{A})\phi=0, より$$ (28)

$$\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=0,$$ (29)

これらの関係から、 $\boldsymbol{A}$ を $\boldsymbol {\nabla }$ 、 $\boldsymbol{B}$ を $\boldsymbol{h}$ とすると

$$\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\phi)=0$$ (30)

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{h})=0$$ (31)

と類推できる。類推ではあるが、これは正しい式である。学生諸君は、成分を計算してこ れが成立することを確認すること。

次にベクトル公式

$$\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) =\boldsy... ...symbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$$ (32)

を用いた場合を考える。$A$と$B$を $\boldsymbol {\nabla }$で置き換え、 $\boldsymbol{C}$を $\boldsymbol{h}$ とすると、

$$\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{h}... ...cdot\boldsymbol{h})-\boldsymbol{h}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla})$$ (33)

となる。右辺第2項の $\boldsymbol{h}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla})$が変である。この困難を避 けるために、少し技巧的であるが、式(32)を

$$\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) =\boldsy... ...symbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}$$ (34)

とすればよい。右辺第2項は、ベクトル $\boldsymbol{C}$とスカラー $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$との積であるため、演算の順序を入れ替えても良い。こ うすると、式(33)は

$$\begin{aligned}\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\ti... ...\boldsymbol{h})-\boldsymbol{\nabla}^2\boldsymbol{h} \end{aligned}$$

となり、正しそうである。事実、これは正しい式である。成分ごとに、きちん と微分を行えば分かる。

以上で、最初に示した2階の微分のうち、式(24)と (26)、(27)の公式を導いた。残りは、特に興 味のあるものは無い。そこで、以上の結果をまとめると

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\phi)=\nabla^2\phi=$$ (36)

$$\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\phi)=0$$ (37)

$$\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{h})=$$ (38)

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{h})=0$$ (39)

$$\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{h}... ...dsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{h})-\nabla^2\boldsymbol{h}=$$ (40)

となる。

ここで、$\nabla^2$ という演算子が現れている。これは、ラプラス演算子と言われるも ので、いろいろな場面で活躍する。これについては、後でのべる。

これまでの話をまとめると、ベクトル演算子 $\boldsymbol {\nabla }$は通常のベクトルの演算 規則が成り立ち、便利である。諸君は、これを上手に使えばよい。もし、その 公式が気になるようであれば、成分に分けて、こつこつと微分をしてみれば良 い。

7.3 注意点

先ほど、ベクトル演算子 $\boldsymbol {\nabla }$は通常のベクトル演算と同様に扱えると述べ たが、注意が必要である。例えば、通常のベクトル公式

$$(\boldsymbol{A}\psi)\times(\boldsymbol{A}\phi)=0$$ (41)

である。

• これがなぜ0になるか、図に示して説明せよ

もし、 $\boldsymbol{A}$を $\boldsymbol {\nabla }$と置き換えると

$$(\boldsymbol{\nabla}\psi)\times(\boldsymbol{\nabla}\phi)=0$$ (42)

となる。ベクトル $\boldsymbol{\nabla}\psi$の方向は$\psi$に関係するし、 $\boldsymbol{\nabla}\phi$も 同様である。したがって、0になるのは特殊な場合である。

これは、次のように考える。最初の $\boldsymbol {\nabla }$は$\psi$に作用し、つぎのものは $\phi$に作用する。したがって、同じ $\boldsymbol {\nabla }$でも異なるベクトルと考える。

だからと言って、 $\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}\phi=0$が成り立たないというわけでは ない。この場合、2つの $\boldsymbol {\nabla }$は同じ$\phi$に作用する。

ベクトル演算子 $\boldsymbol {\nabla }$ を $(\partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z)$ としてスカラー積やベクトル積を計算して、勾配や発散、回 転を計算できるのは、カーテシアン座標系のみである。ほかの座標系になると、かなり複 雑になる。詳細は、私のwebページに載せている。

http://www.akita-nct.jp/ yamamoto/study/electromagnetics/coodinate_transform/html/coodinate_trans.html

を参考にせよ。
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志