4 ベクトル場の発散と積分

4.1 発散とは

この場合は、2次元で考えるのはやっかいなので3次元で考えることにする。3次元の閉じ た空間内での熱の流れを考える。単位面積、単位時間あたりの熱の流れ [ $\mathrm{Jule/m^2sec}$]はベクトル場である。これを $\boldsymbol{A}$で表すことにする。ここ では、この空間から出入りする熱量の総和を考える。この閉じた空間の表面の微少面積 $\mathrm{d} S$から出ていく熱量 $\mathrm{d}Q$は、

$$\mathrm{d}Q=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (14)

である。ここで、 $\boldsymbol{n}$は図3この微少面積の法線方向の単位ベクト ルである。この熱の流れのベクトルと面積の内積を熱流束(一般にはフラックス)と言う。 この式から、空間から出入りするトータルの熱量は、

$$Q=\int_V\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (15)

となる。

図 3: 熱の流出を考える空間とその表面

次に、先ほどの空間を図4のように$V_1$と$V_2$の2つの部分に分割した 場合を考える。この場合、閉じた空間からの熱量の出入りの総和は、それぞれの部分の熱 流速を足しあわせれば良い。すなわち

$$Q=\int_{V_1}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S+\int_{V_2}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (16)

である。先ほどの式(15)と同じになる理由は、以下のことから分かる。

• $V$と、$V_1$あるいは$V_2$の共通の表面の部分は変わらない。
• $V$と積分が異なるのは、図4の$S^\prime$の部分である。この 部分では、$V_1$と$V_2$での熱の流れのベクトルは同一である。しかし、積分を する場合の法線の方向が反対で、 $\boldsymbol{n}_1=-\boldsymbol{n}_2$の関係がある。すると、 この部分での積分は、$V_1$と$V_2$を足しあわせるとキャンセルされる。

先ほどは2つに分割したが、この分割方法は任意で2つ以上に分割しても良いことは明らか である。図5のようにに$N$個に分割した場合は、

$$Q=\sum_i \int_{\Delta V_i}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (17)

である。これを非常に大きな数で分割して、$V_i\to 0$の極限を考える。すると、

$$Q =\sum_i \int_{\Delta V_i}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=\sum_i\left[\cfrac{\int_{\Delta V_i}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{\Delta V_i}\right]\Delta V_i$$

$$=\int_V\left[\lim_{\Delta V\to 0}\cfrac{\int_{\Delta V}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{\Delta V}\right]\mathrm{d}V$$ (18)

である。ここで、

$$\div{A}=\lim_{\Delta V\to 0}\cfrac{\int_{\Delta V}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{\Delta V}$$ (19)

とする。これが発散と呼ばれる量で、ベクトル場の微分を表すスカラー量である。この発 散を用いると、トータルの熱量は、

$$Q=\int_V \div{\boldsymbol{A}}dV$$ (20)

となる。式(15)と比べると、

$$\int_V\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_V \div{\boldsymbol{A}}dV$$ (21)

である。これをガウスの発散定理といい、熱にこだわらずどんなベクトル場についても成 り立つ。この定理は、「微分の体積積分は表面での面積分に置き換えることができる」と 言っている。

ここで考えた熱流速の場合、発散 $\div{\boldsymbol{A}}$は単位体積あたりの熱の出入りを表している。 これは、その微少体積で熱が発生量を表している。そのため、発散とは言わずにこの微分 を「湧き出し」と呼ぶ人もいる。

図 4: 2分割

図 5: 微小な区間に分割

4.2 カーテシアン座標系での発散

発散は式(19)で定義されるベクトル場の微分である。実際の微分につい て、カーテシアン座標系で考える。ベクトル場 $\boldsymbol{A}$があったとする。それは座標の関 数で、 $\boldsymbol{A}(x,\,y,\,z)$と書けるであろう。図に示したような微 少な空間でのそのフラックス$F$を考える。まずは、 $\mathrm{xy}$平面である。これは、$z$ と $z+\Delta z$の面のフラックスを足しあわせれば良い。

$$F_z = F\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z+\Delta z\right)+ \left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right)$$

$$= \boldsymbol{A}\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2}... ...a x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right)\cdot \boldsymbol{n}_0\Delta x\Delta y$$

$$\boldsymbol{n}_1=(0,0,1) \boldsymbol{n}_0=(0,0,-1)$$

$$= A_z\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z+\Delta... ..._z\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right) \Delta x\Delta y$$

$$=\left[ A_z\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z+... ...x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right) \right]\Delta x \Delta y$$

$$(x,y,z)$$

$$=\left[\left( A_z+ \if 11 \frac{\partial A_z}{\partial x} \else \... ...{1} A_z}{\partial y^{1}}\fi \frac{\Delta y}{2} \right) \right]\Delta x \Delta y$$

$$= \if 11 \frac{\partial A_z}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial z^{1}}\fi \Delta x \Delta y \Delta z$$ (22)

$\mathrm{yz}$, $\mathrm{zx}$平面も同様にして、

$$F_x= \if 11 \frac{\partial A_x}{\partial x} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial x^{1}}\fi \Delta x \Delta y \Delta z F_y= \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial y} \else \frac{\partial^{1} A_y}{\partial y^{1}}\fi \Delta x \Delta y \Delta z$$ (23)

となる。

これから発散は、

$$\div\boldsymbol{A} =\lim_{V \to 0}\frac{\int \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{V}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0}\frac{F_x+F_y+F_z}{\Delta x \Delta y \Delta z}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0}\frac{\left( \if 11 \frac{\partial A_x}{\part... ...i \right)\Delta x \Delta y \Delta z} {\Delta x \Delta y \Delta z}\boldsymbol{A} =\lim_{V \to 0}\frac{\int \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{V}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0}\frac{F_x+F_y+F_z}{\Delta x \Delta y \Delta z}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0}\frac{\left( \if 11 \frac{\partial A_x}{\part... ...e \frac{\partial^{1} A_z}{\partial z^{1}}\fi \right)\Delta x \Delta y \Delta z}$$

$$= \if 11 \frac{\partial A_x}{\partial x} \else \frac{\partial^{1}... ...frac{\partial A_z}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial z^{1}}\fi$$ (24)

となる。

これは、先週示した式と同じである。また、円柱座標系や極座標系については、私のweb ページを見よ。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志