5 ベクトル場の回転と積分

5.1 回転とは

回転についても、発散と全く同じように議論を進める。回転のイメージを持つためには、 流体を考えるのが良いであろう。非圧縮性流体の速度場を考える。速度なのでこれは、ベ クトル場である。それが回転しているか否かを考えることにする。速度場のベクトルを $\boldsymbol{A}$で表し、回転$\Omega$を

$$\Omega=\oint_C \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$ (25)

と定義する。この積分は図のように、ベクトル場を線積分する。この積 分は、図のように、2つに分割しても値は変わらない。

$$\oint_C \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \oint_{C_... ...{d}\boldsymbol{\ell}+\oint_{C_2} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$ (26)

$C$で積分するときの経路と$C_1$と$C_2$で積分するときの経路で異なるのは、分割線の 部分である。ここでは、$C_1$と$C_2$のベクトル場は同じで、積分の方向が反対である。 それ故.足しあわせるとキャンセルされる。図分割をもっともっと多くしても、 同じことが成り立つ。

$$\Omega=\sum_i \oint_{C_i} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$ (27)

発散の時と同様に、無限に多くの分割を行い、それぞれの積分経路の面積をゼロにした極 限を考える。すると、

$$\Omega =\sum_i \oint_{C_i} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$

$$=\sum_i \left[ \frac{\oint_{C_i} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S_i}\right]\Delta S_i$$

$$=\int_S \left[\lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S}\right]\mathrm{d}S$$ (28)

となる。ここで、

$$\boldsymbol{\nabla}\times A\cdot\boldsymbol{n}= \lim_{\Delta S \to 0}\frac{\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S}$$ (29)

とする。ここで $\boldsymbol{n}$は、この積分を行う領域の面の法線方向の単位ベクトルで、積分 領域の右ねじの向きとする。右辺はスカラー量なので、 $\boldsymbol{\nabla}\times A$はベクトル量である。

この回転を用いると

$$\Omega=\int_S \boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n} \mathrm{d}S$$ (30)

となる。式(25)と比べると、

$$\oint_C \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_S \boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n} \mathrm{d}S$$ (31)

である。これをストークスの定理という。これは、「回転と言われる微分の面積分は、そ の面の縁の線積分に等しいと言っている。

先ほどの勾配でも線績分が現れた。この回転と勾配の関係を考えてみよう。

5.2 カーテシアン座標系での回転

回転は、式(29)で定義されるベクトル場の微分である。これをカーテシ アン座標系で考える。ここに、ベクトル場 $\boldsymbol{A}$があったとし、それが$(x,y,z)$の関 数であったとする。これを任意の $\mathrm{xy}$平面で見ると、図のよ うになる。この面の微小領域の回転を考えよう。それは、

$$\oint \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y,z\right)\Delta x +A_y\left(x+\Delta x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right)\Delta y$$

$$\qquad\qquad -A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y+\Delta y,z\right)\Delta x -A_y\left(x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right)\Delta y$$

$$=\left[ A_y\left(x+\Delta x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right)- A_y\left(x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right) \right]\Delta y$$

$$\qquad\qquad -\left[ A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y+\Delta y,z\right)- A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y,z\right) \right]\Delta x$$

$$(x,y,z)$$

$$= \left[ \left( A_y+ \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial x} \else... ...\partial^{1} A_y}{\partial y^{1}}\fi \frac{\Delta y}{2} \right) \right]\Delta y$$

$$\qquad\qquad -\left[\left( A_x+ \if 11 \frac{\partial A_x}{\parti... ...{\partial^{1} A_x}{\partial x^{1}}\fi \frac{\Delta x}{2}\right) \right]\Delta x$$

$$=\left( \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial x} \else \frac{\parti... ...ial y} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi \right)\Delta x\Delta y$$ (32)

となる。従って、 $\mathrm{z}$の回転は、式 (29)より、

$$(\boldsymbol{\nabla}\times A)_z =\lim_{\Delta S \to 0}\frac{\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0} \cfrac{\left( \if 11 \frac{\partial A_y}{\pa... ...artial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi \right)\Delta x\Delta y} {\Delta x \Delta y}$$

$$= \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial x} \else \frac{\partial^{1}... ...frac{\partial A_x}{\partial y} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi$$ (33)

同様に、 $\mathrm{x}$や $\mathrm{y}$方向の回転を求めると、

$$(\boldsymbol{\nabla}\times A)_x= \if 11 \frac{\partial A_z}{\part... ...frac{\partial A_y}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_y}{\partial z^{1}}\fi (\boldsymbol{\nabla}\times A)_y= \if 11 \frac{\partial A_x}{\part... ...frac{\partial A_z}{\partial x} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial x^{1}}\fi$$ (34)

なる。

これは、先週示した式と同じである。また、円柱座標系や極座標系については、私のweb ページを見よ。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志