2 フーリエ積分

2.1 フーリエ級数

これまで学習してきたように，次のような関数はフーリエ級数で表すことができる． -4pt

• 周期的に繰り返す関数
• 有限な区間で定義された関数

例えば，周期$2L$あるいは区間$[-L,L]$で定義された関数$f(x)$は，

$$f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_n\cos \frac{n\pi x}{L} +b_n\sin \frac{n\pi x}{L} \right]$$ (1)

$$\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L} \,\ma... ...qquad \quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L} \,\mathrm{d}x$$

のようにフーリエ級数で表すことができる．

2.2 フーリエ積分

先に示したように，フーリエ級数は有限な区間$[-L,L]$で定義された関数を表すことがで きる．それを無限の区間 $[-\infty,\infty]$に拡張することを考える．ここで は，有限な$L$の式から出発して，それを $L\rightarrow \infty$にする．式 (1)の$f(x)$に$a_n$と$b_n$を代入すると，

$$f(x)=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\,\mathrm{d}x+\frac{1}{L}\sum_{... ...sin \frac{n\pi x}{L}\int_{-L}^{L}f(u)\sin \frac{n\pi u}{L}\,\mathrm{d}u \right]$$ (2)

が得られる．ここで，

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=$$ (3)

とするならば，式(2)の右辺の第一項はゼロに収束する²．なぜならば，$1/L$の係数が無限小になるからである．つぎに，

$$\alpha_n=\frac{n\pi}{L}$$ (4)

$$\varDelta\alpha =\alpha_{n+1}-\alpha_n =\frac{(n+1)\pi}{L}-\frac{n\pi}{L}=\frac{\pi}{L}$$ (5)

とおく．すると， $L\to\infty$は $\varDelta \alpha\to 0$となる．したがっ て， $L\to\infty$の場合の式(2)は，

$$f(x)=\lim_{\varDelta\alpha\to 0} \frac{\varDelta\alpha}{\pi}\sum_... ...in(\alpha_n x)\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\sin(\alpha_n u)\,\mathrm{d}u \right]$$ (6)

となる．ここで，

$$A(\alpha)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\cos\alpha u\,\mathrm{d}u$$ (7)

$$B(\alpha)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\sin\alpha u\,\mathrm{d}u$$ (8)

とおく．すると，式(6)は，

$$f(x) =\lim_{\varDelta\alpha\to 0}\varDelta\alpha\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \cos(\alpha_n x)A(\alpha_n) +\sin(\alpha_n x)B(\alpha_n) \right]$$

$$=\lim_{\varDelta\alpha\to 0}\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \cos(\alpha... ...)A(\alpha_n)\varDelta\alpha +\sin(\alpha_n x)B(\alpha_n)\varDelta\alpha \right]$$

$$=\lim_{\varDelta\alpha\to 0}\left[\sum_{n=1}^{\infty} A(\alpha_n)... ...a\alpha +\sum_{n=1}^{\infty} B(\alpha_n)\sin(\alpha_n x)\varDelta\alpha \right]$$ (9)

となる．この右辺はリーマン和の極限--普通の積分--の形になっている．したがって，

$$f(x)=\int_0^{\infty}A(\alpha)\cos\alpha x\,\mathrm{d}\alpha+ \int_0^{\infty}B(\alpha)\sin\alpha x\,\mathrm{d}\alpha$$ (10)

と書くことができる．これまでの話をまとめると，次のようになる．

フーリエ積分1 区間 $[-\infty,\infty]$で定義された関数$f(x)$は，次のフーリエ積分で表すことができる．

$$f(x) =\int_0^{\infty}A(\alpha)\cos\alpha x\,\mathrm{d}\alpha+ \int_0^{\infty}A(\alpha)\sin\alpha x\,\mathrm{d}\alpha$$    ただし，

$$\quad\quad A(\alpha)= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\cos(\alpha u)\,\mathrm{d}u$$

$$\quad\quad B(\alpha)= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\sin(\alpha u)\,\mathrm{d}u$$

つぎに，式(7)と式(8)を式 (10)に代入すれば，

$$f(x) =\int_0^{\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\cos\alp... ..._{-\infty}^{\infty}f(u)\sin\alpha u\,\mathrm{d}u \sin\alpha x\,\mathrm{d}\alpha$$

$$=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\left[ \... ... u\cos\alpha x+\sin\alpha u\sin\alpha x \right] \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$
三角関数の加法定理を使うと

$$=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\cos\alpha(x-u) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$ (11)

がえられる．これもフーリエ積分である．

フーリエ積分2 区間 $[-\infty,\infty]$で定義された関数$f(x)$は，次のフーリエ積分で表すことができる．

$$f(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\cos\alpha(x-u) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$ (12)

2.3 フーリエ積分(指数関数形)

式(11)から，指数関数を用いたフーリエ積分を求める．その 計算をするときに，オイラーの公式より導くことができる．ここでは，

$$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$$ (13)

を用いる．

この式を使うと，式(11)は次のように変形できる．

$$f(x) =\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\cos\alpha(x-u) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$

$$=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\frac{e^{i\alpha(x-u)}+e^{-i\alpha(x-u)}}{2} \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)e^{i\al... ...ty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)e^{-i\alpha(x-u)}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$

$$\alpha\to-\alpha \,\mathrm{d}\alpha\to-\,\mathrm{d}\alpha \infty\to-\infty$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)e^{i\al... ...fty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)e^{i\alpha(x-u)}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)e^{i\al... ...y}^0\int_{-\infty}^{\infty} f(u)e^{i\alpha(x-u)}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)e^{i\alpha(x-u)}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$ (14)

この式は，一般には次のように変形されて使われることが多い．

$$f(x) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)e^{i\alpha(x-u)}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)e^{i\alpha x}e^{-i\alpha u}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\alpha$$

$$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left[ \frac{1}{\sqr... ...{\infty} f(u)e^{-i\alpha u}\,\mathrm{d}u \right]e^{i\alpha x}\,\mathrm{d}\alpha$$ (15)

この式もまた，フーリエ積分の別の形である．他のフーリエ積分に比べると式が単純であ ること，また次のフーリエ変換との関係が深いことから，これがもっとも重要である．

フーリエ積分3 区間 $[-\infty,\infty]$で定義された関数$f(x)$は，次のフーリエ積分で表すことができる．

$$f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(\alpha)e^{i\alpha x} \,\mathrm{d}\alpha$$

$$F(\alpha) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-i\alpha u}\,\mathrm{d}u$$

2.4 注意

ここまでの話は，教科書 [1]のp.239-242に対応する．しかし，教科書で は等号($=$)を使わずに，正確でないがまあ良かろうという意味で記号$\sim$を使ってい る．配布したプリントでは，いきなり等号($=$)を使っている．近似記号($\sim$)を等 号($=$)に直すためには，教科書 [1]の定理4が必要ということである．こ れが必要な理由は，私は分からない．不連続点の取扱いを定めたものと考えて，「こんな ものか」という程度にとどめるのが良いだろう．直感的に正しそうで，なにもそんなに不 思議なことはない．このあたりはフーリエ級数と同じ．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志